II тур олимпиады "Надежда ЛИСы"

     Задачи второго тура необходимо решить до 30 июня 2015 года. Удачи!

1.     Для каких натуральных n число (а²+в²)ⁿ , где а и в- различные натуральные числа, является суммой квадратов двух натуральных чисел?

     2.     Можно ли в таблицу 5х5 записать числа 1,2,3,…24,25 так, чтобы в каждой строке сумма некоторых из записанных в ней чисел была равна сумме остальных чисел этой строки?

     3.     В вершинах куба расставлены различные  числа. Каково наибольшее число тех из них, которые  больше  среднего арифметического своих трёх соседей?  

     4.       Имеется 20 литровых сосудов, содержащих 1 куб.см , 2куб.см 3 куб.см …20  куб.см   воды. Из сосуда А разрешается  перелить в сосуд В  столько воды, сколько имеется в В ( при условии, что в А не меньше воды, чем в В) . Можно ли  после нескольких переливаний : 

    а) добиться того, чтобы в каких-то пяти сосудах оказалось по 3 куб.см воды, а в остальных- по 6 куб.см, 7 куб.см, 8 куб.см , … 20 куб.см воды ? 

    б) перелить всю воду в один сосуд?

    5.  Существует ли натуральное число, которое в 1995 раз больше суммы своих цифр?

    6.     Каждое двузначное число разделили на сумму квадратов его цифр. Какие целые числа при этом получились?

    7.     При стрельбе по мишени спортсмен выбивал только по 8, 9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен и какие были попадания?

   8.     Сколько слагаемых не более 100 надо взять в сумме 1+2+3 +…, чтобы сумма оказалась точным квадратом?

    9.     Расшифровать равенство АРШИН+АРШИН+АРШИН=САЖЕНЬ

   10.   Может ли частное от деления числа 3¹⁰⁰⁰ +3¹³³³+3¹⁶⁶⁵ +3ⁿ на 3 быть точным кубом?