воскресенье, 22 июня 2014 г.

Задачи 5 тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Задачи 5 тура олимпиады «Надежа ЛИСы»
Решить до  30 августа 2014года.






1.Докажите, что доску 10х10 нельзя замостить фигурками вида

2.Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали      орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?
3.В пробирке находятся марсианские амёбы  трёх типов: А,В и С. Две амёбы любых  двух типов могут слиться в одну амёбу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке осталась одна амёба. Каким может быть её тип, если исходно амёб типа А было 20 штук, типа В-21 штука, типа С-22 штуки?
4.Имеется шесть натуральных чисел. Для каждой пары этих чисел выписали их наибольший общий  делитель. Могли ли при этом оказаться выписанными все натуральные числа от 1 до 15?
5. По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков и 8 девочек, каждый (каждая)  назвал (назвала) количество своих партнёрш (партнёров) : 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6.     Не ошибся ли кто-нибудь из них?
6.В классе учится 22 ученика. Докажите, что из них можно выбрать четырёх, которые родились в один день недели.
7. По кругу записано  100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все 100 чисел равны.
8.Несколько камней весят вместе 10 т, при этом каждый из них весит не более 1 т. На каком наименьшем количестве трёхтонок можно увезти этот груз за один раз?
9.В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвуют 50 боксеров. Какое наименьшее количество боёв надо провести, чтобы выявить победителя?
10.На столе стоят вверх дном 25 стаканов. За один ход Вася может перевернуть любые два стакана. Сможет ли Вася за несколько ходов поставить все стаканы правильно?

Задачи 4 тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Задачи 4 тура олимпиады "Надежда ЛИСы"
Решить до 15 августа 2014г.

1.Катя выложила на столе из цифр пятизначное число N, а  затем ещё четыре числа: сумму первых двух цифр числа N, сумму первых трёх, первых четырёх, наконец, сумму всех пяти цифр числа N. В итоге на столе оказались: одна цифра 1, шесть цифр 2, одна цифра 4, три цифры 6, две цифры 8. Чему равно число N?  Объясните свой ответ.
2.  На доске было записано арифметическое выражение, значение которого равнялось 2007. Коля поменял в этом выражении две цифры местами, и значение выражения стало равным 2008. Покажите, как такое могло произойти.
3.У Винни  Пуха в шкафу стояло несколько 11-литровых банок с мёдом (банки могли быть заполнены не целиком). Каждый день Винни Пух подходил к шкафу, брал какую-то банку и ел из неё мёд. При этом если в банке было больше 1 л мёда, то он съедал половину мёда из банки, а если в банке оставался 1 л мёда или меньше, то он съедал весь мёд из этой банки. За 14 дней Винни Пух съел весь мёд. Мог ли он съесть 30 л. Мёда?
4. У деда с бабкой были чашечные весы и гири массами 1,3 и 5 кг (гирь каждого веса было больше одной). Сначала бабка уравновесила репку на весах. Потом дед уравновесил репку на весах (репка кладётся на одну чашку весов, гири становятся на другую). Мог ли дед использовать для этого на 3 гири больше, чем бабка?
5.Мама хочет наказать Петю за двойку по математике. Они договорились о следующем. Петя задумывает двузначное число и сообщает его маме. После этого мама тоже задумывает двузначное число и называет его  Пете. Дальше Петя в  первую минуту прибавляет  мамино число к своему числу, во вторую прибавляет мамино число к полученной сумме , в третью – к вновь полученной сумме и т.д. Если в течение двух часов у него получится сумма, оканчивающаяся на две одинаковые цифры, мама отпустит его гулять. Сможет ли мама не позволить Пете в этот день погулять?
6.  Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинством 1, 3 и 5 рублей?             (Эта задача появилась в то время, когда в ходу были купюры достоинством 1,3,5,10,25,50 и 100 рублей ).
7. Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
8.Можно ли заменить звёздочки в равенстве
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=0  на знаки «+» и «-» так, чтобы равенство стало верным.
9.В королевстве 1001 город. Король приказал проложить дороги между городами так, чтобы из каждого города выходило 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?

10.Можно ли все клетки таблицы 9х2000 заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке были бы простыми числами?

суббота, 21 июня 2014 г.

Задачи третьего тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Задачи третьего тура олимпиады "Надежда ЛИСы"
Сдать решения до  31 июля 2014 года.
1.На доске было написано натуральное число  N.   Глафира подсчитала произведение его цифр и получила число К. Потом Глафира подсчитала произведение цифр числа К и получила 1001. Докажите, что Глафира ошиблась.
2.Сумма двух двузначных  чисел равна 147. Оба числа записали в обратном порядке и сложили. Какая сумма могла получиться? Приведите все возможные ответы.

























3.Огород квадратной формы 5х5 м нужно разделить несколькими кусками сетки на 5 клетчатых участков одинаковой площади. Это легко сделать, используя 20 м сетки. А хватит ли для этой же цели 16 м сетки? 
4. Найдите наименьшее натуральное число, произведение цифр которого равно 1080.
5.За круглым столом  сидят 10 человек: лжецы и рыцари. Каждый из них знает, кто рыцарь, а кто лжец. Лжецы на любой вопрос дают ложный ответ, рыцари - правдивый. В комнату вошёл мудрец и каждому сидящему задал два вопроса: « Поведай мне, кто твой сосед справа?»и« Поведай мне, кто твой сосед слева? . По их ответам мудрец сумел определить, сколько лжецов и сколько рыцарей  сидят за столом. Какой результат он получил? Ответ объясните.
6.Коммерсант Петя занялся торговлей.  Каждое утро он покупает  товар на некоторую часть имеющихся у него денег (возможно на все имеющиеся у него деньги). После обеда он продаёт купленный товар в 2 раза дороже, чем купил. Как нужно торговать Пете, чтобы через 5 дней у него было ровно 25000 рублей, если сначала у него было 1000 рублей?
7.Проезжая по лесной дороге,  Иван-Царевич встретил медведя, волка и лису. Медведь всегда говорит правду, лиса всегда лжёт, а волк чередует правду и ложь, всегда начиная с правды. Звери сказали Ивану-Царевичу по два предложения.  1-й:«Ты коня спасёшь», «Но сам погибнешь».   2-й :«Ты целым- невредимым останешься», «И коня спасёшь».     3-й: «Ты цел останешься», «А вот коня потеряешь».     Определите, какому зверю принадлежит каждый ответ и что ждёт  Ивана-Царевича впереди.
8. В таблицу 2х5 записали все натуральные числа от 1 до 10. После этого подсчитали каждую из сумм чисел по строке и по столбцу (всего получилось 7 сумм). Какое наибольшее количество этих сумм может оказаться простым числом?
9.Пять шестиклассников на городской олимпиаде по математике в сумме решили 20 задач, причём один из них решил в 2 раза больше задач, чем другой. А сколько задач решил каждый из шестиклассников? Объясните свой ответ. На олимпиаде было 5 задач.

10.Шестиклассники школы сладкоежек собирают конфетные фантики трёх цветов: зеленого, синего и красного- и обмениваются ими по правилам: меняют либо три синих фантика на пять зелёных ( и наоборот, пять зелёных на три синих), либо 7 красных фантиков на 11 синих ( и наоборот,11 синих на 7 красных). Могло ли у ребят в конце месяца оказаться 1111 фантиков, если в начале месяца у них было 1000 фантиков?

Задачи второго тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Задачи второго тура олимпиады "Надежда ЛИСы" Решения отправить до 15 июля 2014г.
1.Запишите число 2000, используя  9 единиц, скобки и арифметические операции.
2. Разрежьте прямоугольник 9х4 на две одинаковые части, из которых можно сложить квадрат.
3.В 6 в классе обучаются 20 учеников. В первой четверти они по трое дежурили по классу. Могло ли так получиться, что в некоторый момент каждый из учеников отдежурил с каждым ровно по одному разу?
4.Найдите наименьшее 20-значное число, сумма цифр которого равна 20 и которое само делится на 20.
5.Решите ребус:   СДДС+С +Д=АВВС. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры,  разными - разные. Объясните, как получен ответ.
6.В школьной математической олимпиаде приняли участие учащиеся всех шестых классов. Ученики 6Г класса выступили на олимпиаде следующим образом: первую задачу решили 9 учеников, вторую-7 учеников, третью- 5 учеников, четвёртую-3 ученика, пятую-1 ученик. Все ученики 6Г класса, кроме Васи, решили одинаковое число задач, а Вася – на одну задачу больше. Мог ли он стать призером олимпиады, если призерами олимпиады стали шестиклассники, решившие 4 или 5 задач?
7. Найдите какое-нибудь натуральное число, которое в 2002 раза больше суммы своих цифр.
8.На вопрос о возрасте ее троих детей  мама ответила: «Никите и Саше вместе 19 лет, Никите и Алисе вместе 14 лет, а младшим вместе 7 лет.» Сколько лет каждому из детей? Ответ объясните.
9.Найдите наименьшее натуральное число, такое, что суммы подряд идущих его цифр дают все натуральные числа от 1 до 9 (сумма может состоять из одного слагаемого).Почему нет меньшего числа?
10.У Карлсона в шкафу стоят 5 банок малинового, 8 банок земляничного, 10 банок вишневого и 25 банок клубничного варенья. Может ли Карлсон съесть всё варенье, если каждый день он хочет съедать 2 банки варенья, при этом обязательно из разных ягод?


вторник, 10 июня 2014 г.

Первый тур олимпиады "Надежда ЛИСы"

Дорогие мои шестиклассники-семиклассники! Так непривычно  обращаться к вам  "семиклассники"! Начинается первый тур олимпиады "Надежда ЛИСы". Решения необходимо переслать до 30 июня включительно на почтовый ящик lopatinairst@rambler.ru или в vk. http://vk.com/id13293580. Приглашаю всех желающих пошевелить мозгами в знойное лето города Волжского!  Желаю успеха!



1.Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равны двадцати.
2.Имеется  трёхзначное число. В нём поменяли местами последние две цифры и сложили получившееся число с исходным, получилось число 1187. Найдите все такие числа и объясните, почему нет других.
3.Никита и  Сергей идут по дороге. Никита делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, Сергей. Кто из них идёт быстрее и почему?







4. Проведя два прямоугольных разреза, разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на такие части, из которых можно сложить квадрат(после первого разреза части фигуры перекладывать нельзя).


5.Вася взял книгу,  страницы которой  пронумерованы подряд, от первой до последней. Хулиган Вася вырвал из разных мест книги 25 листов и сложил номера всех пятидесяти вырванных страниц. У него получилось число 1994. Когда об этом узнала Даша, она заявила, что при подсчёте Вася ошибся. Объясните, почему Даша действительно права.
6.Замените буквы К, Е, Н, Р цифрами так, чтобы получилось  верное равенство
КККК+ ЕЕЕ – НН+Р =1995.
7. Тимур отмечал день рождения и к нему  пришли его одноклассники. Мама Тимура спросила у него, сколько пришло гостей. Тимур ответил: «Больше шести», а стоявший рядом брат сказал: «Больше пяти». Сколько было гостей, если известно, что один ответ верный, а другой нет?
8.Нарисуйте 8 одинаковых квадратов так, чтобы ровно 15 точек были вершинами нарисованных квадратов.
9.У Гали есть 4 гири с маркировками1 г, 2 г, 3 г, 4 г. Одна из них дефектная: более легкая или более тяжелая, чем указано на маркировке. Можно ли за два взвешивания узнать, какая из гирь дефектная, и при этом определить, легче или она тяжелее, чем на этой гире указано?
10.Двое играют в игру. На столе лежат 9 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 9. Каждый из двух по очереди откладывают в сторону по одной карточке. Играющие видят числа на карточках. Проигрывает тот, после хода которого сумма чисел на карточках становится больше 25. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?
11.В квартире у Маши есть электронные часы. Они показывают время от 00.00.00 до 23.59.59. Сколько раз в течение суток на табло горят ровно три цифры 7?
12. Имеется таблица три на три.  Во всех клетках написаны  нули.  За один ход разрешается прибавить ко всем четырём числам любого квадрата  2х2 по единице. Можно ли после нескольких ходов получить нарисованную таблицу?

2
5
3
6
18
8
4
9
5
13.Одна из семей города Волжского состоит из трёх человек: сына, матери и отца. В 2014 году сумма их возрастов составляет 74 года, а в 2004 году эта сумма составляла 47 лет. Сколько сейчас отцу, если он старше сына на 28 лет?
14.Проходило первенство класса по шахматам. Турнир проводился по круговой схеме: каждый играл с каждым одну партию.  Двое участников, сыграв равное количество партий, заболели и выбыли из турнира, а остальные участники доиграли турнир до конца. Играли ли выбывшие участники между собой, если всего было сыграно 23 партии?
15.В коробке было 24 конфеты. Шрек и Осёл решили съесть конфеты на приз. Они договорились, что если в какой –то момент в коробке останется ровно 4 или 14 конфет, то тому, чья очередь брать конфеты, достанется торт. Шрек  и Осёл  по очереди достают из коробки конфеты. Каждый берёт на  одну конфету больше или меньше, чем перед этим взял другой, не брать конфеты в свою очередь из  коробки нельзя. Первым берёт конфеты Осёл. Сможет ли он выиграть торт, если вначале он имеет право взять 1 или 2 конфеты?







1