Задания четвёртого тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Задания четвертого тура олимпиады «Надежда ЛИСы»

Задания решить до 31 июля 2015г.

1.      Футбольные команды «Торпедо» и «Маяк» принимали участие в двух различных турнирах, в которых каждый участник встречается с каждым по разу. Когда турнир с участием команды «Торпедо» закончился, в другом турнире было проведено столько же матчей, сколько в первом, и до конца оставалось три тура. Сколько команд участвовало в каждом турнире?

2.      Можно ли на окружности расставить числа от 1 до 1991 так, чтобы сумма любых из десяти подряд стоящих чисел делились на 11?

3.      В клетках прямоугольной таблицы размером 19х91 расставлены некоторые числа, причем суммы чисел в каждой строчке и в каждом столбце все равны между собой. Чему может равняться эта сумма?

4.      Машинистка хочет отобрать из 120 чистых листов бумаги пачку из известного только ей количества  листов. При подсчете она тратит 1 с на 1 лист. За какое наименьшее время она наверняка сделает свой отбор независимо от количества листов в пачке?

5.      Существует ли такое число, составленное из цифр от 1 до 9 без повторений, что его произведение на 8 получается из него перестановкой цифр?

6.      Найти двузначное число, произведение которого с числом 10 на 3  меньше, чем куб суммы его цифр.

7.      Можно ли в десятичной  записи степени пятерки так переставить  цифры, чтобы получилось другое число, также являющееся степенью пятерки?

8.      Двузначное число разделили на однозначное и к  частному прибавили тоже самое однозначное число, после чего получилось обращенное к данному двузначное число. Найти все такие двузначные числа. ( Надеюсь, что вы уже познакомились с понятием обращенного числа).

9.      Каждый член последовательности 76,87,100,98,113,115,119,127,134,139… получается из предыдущего по некоторому правилу, в которое входят сумма и количество его цифр. Какое следующее число в этой последовательности?

10.  Может ли число вида 5ⁿ+1 делиться на 7¹⁰⁰ ?