Задания третьего тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Задания третьего тура олимпиады «Надежда ЛИСы».

Решить до 15 июля 2015г.

1.      Можно ли  все двузначные  числа  от 32 до 86 включительно выписать в некотором порядке одно за другим, чтобы получилось простое число?

2.      В международном футбольном турнире, где каждый участник встречается с каждым по разу, команда «Ротор» набрала больше всех очков-4, а остальные команды набрали одинаковое количество очков. Как сыграли остальные команды?

3.      Можно ли на окружности расставить числа от 1 до 1991 так, чтобы среди любых из десяти подряд стоящих чисел по крайней мере два делились на 7?

4.      Сколько точных квадратов можно составить  из цифр 3,4,5,6, употребляя  каждую только один раз?

5.      Можно ли множество натуральных чисел от 1 до 1986 разбить на несколько групп, в каждой из которых сумма наименьшего и наибольшего из чисел равна сумме остальных?

6.      Найти двузначное число, которое на 6 меньше квадрата суммы своих цифр.

7.      Произведение  числа на его обращенное равно 692443. Найдите это число. Определение обращенного числа найдите сами.

8.      В классе выписывают три журнала, причем общее количество выписываемых экземпляров меньше 30. Число подписчиков на «Квант» кратно числу подписчиков на «Кляпа», которых в свою очередь  в  5 раз меньше,  чем подписчиков на журнал «Ровесник». Если число выписываемых «Квант» увеличится в 4 раза, то их станет на 21 больше, чем количество выписываемых «Ровесник». Сколько учеников выписывают «Квант»?

9.      Заменить буквы цифрами так, чтобы равенство БАРС=(Б+А+С)⁴   оказалось верным?

10.  Существует ли число вида 3ⁿ+1 (n принадлежит N) , делящееся на 10¹⁰⁰?