воскресенье, 16 августа 2015 г.

Решения задач пятого тура олимпиады "Надежда ЛИСы"



Решения пятого тура олимпиады

 «Надежда ЛИСы»

1.Школьник купил авторучку, книгу, портфель и футбольный мяч. Если бы эти предметы стоили соответственно в 12, 6, 4 и 3 раза дешевле, то он заплатил бы 10000 р. А если бы они стоили соответственно в 12, 15, 20 и 30 раз дешевле, то он заплатил бы 5000 рублей. Что дороже: авторучка или портфель?
Решение Юровой Полины:
Чтобы не выполнять вычисления с дробями, обозначим цену каждого предмета числом, которое делится на все числа - 3, 4, 6 и т.д.  НОК этих чисел - 60. Пусть авторучка стоит 60a, книга - 60b, портфель -  60c, мяч - 60d. Составим уравнения.
5a+10b+15c+20d=10000


5a+4b+3c+2d=5000
Отнимем от первого уравнения второе. Получим:
6b+12c+18d=5000
В правой части второго и третьего уравнения одинаковое число. Приравняем левые части обоих уравнений.
5a+4b+3c+2d=6b+12c+18d
5a+4b-6b+3c-12c+2d-18d=0
5a-6b-9c-16d=0
Перенесем числа в разные части уравнения, чтобы перед каждым числом стоял знак +.
5a=6b+9c+16d
Получается, что 5a стоит уже как 9c и два других числа. А поскольку изначально a и c записывались с одинаковым числовым показателем, и b и d не могут быть отрицательными числами, т.к. это цена, то a>c, следовательно 60a>60c. Значит, авторучка стоит дороже.

Решение Великодного Александра: (красным мои исправления)
Пусть x,y,z,t увеличенные в 60 раз цены авторучки, книги, портфеля и мяча.
Будем измерять в 10-тках тысячах рублей. Из первого условия следует 5x+10y+15z+20t=60, или x+2y+3z+4t=12 (1), а из второго условия следует: 5x+4y+3z+2t=30 (2). Складывая эти равенства, получим x+y+z+t=7. Отсюда найдём x=7-y-z-t, t=7-x-y-z. Подставим это в (1) и (2) соответственно, получим: y+2z+3t=5 (3), 3x+2y+z=16 (4). Из (3): y=5-2z-3
t (5) а, из (4): 2y=16-z-3x (6). Подставляя (5) в (6) найдём: 3x=6+3z+6t. Отсюда следует, что X>Z.
2. Товарный поезд, отправившись из Москвы в х часов у минут, прибыл в Волгоград в у часов z минут. Время в пути составило z часов х минут. Найти все возможные значения х.
Решение Федорова Дениса: Товарный поезд, отправившись из Москвы в х часов у минут, прибыл в Волгоград в у часов минут. Время в пути составило z часов х минут. Найти все возможные значения х.
Решение:
Время отправления X ч Y мин
Время прибытия      Y ч Z мин
Время в пути            Z ч X мин
X,Y,Z<24 и X,Y,Z<60
Заметим, что X+Y<24+24<60, поэтому
число минут времени прибытия Z=X мин в пути + Y мин отправления.
Число часов времени прибытия Y отличается от суммы X+Z=2X+Y (заменим Z  на X+Y) на число кратное числу часов в сутках – 24. Отсюда видно, что X кратно 12, а т.к. X<24, то X может быть равен 0. Например, поезд отходит в 0.10, находится в пути 10 часов и прибывает в 10.10. Или X=12. Например, поезд отходит в 12.10, находится в пути 22 часов 12 минут и прибывает в 10.22.
Ответ: 0 или 12.



3. Можно ли в клетки таблицы 9х9 записать натуральные число от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3х3 была одна и та же?
Решение Иванова Егора:
Таблица 1, изображенная на рисунке слева одержит по девять раз каждое из чисел 1, 2, ..., 9 и обладает тем свойством, что сумма чисел в каждом квадрате 3×3 равна 36.
Ясно, что таблица 2, получаемая из нее поворотом на 90° (рис. справа), также обладает указанными свойствами. Заметим теперь, что одинаковым числам таблицы 1 соответствуют различные числа таблицы 2, поэтому существует взаимно однозначное соответствие между клетками таблицы 9×9 и парами (a, b), где a, b= 1, 2, ..., 9. Если теперь взять новую таблицу 9×9 и в её клетке, соответствующей паре (a, b), записать число 9a + b– 9, то каждое из чисел от 1 до 81 встретится в такой таблице ровно один раз, а сумма чисел в каждом квадрате 3×3 будет одна и та же (она равна 9·45 + 45 – 9·9 = 369, см. рис.).


4.Расшифровать равенство 60·ПЯТЬ=ТРИСТА, в котором разные буквы означают разные цифры.
Решение Балаева Антона:
Запишем равенство 60 × ПЯТЬ = ТРИСТА, как :
    П Я Т Ь
×               6 0

Т Р И С Т А
Отсюда в любом случае А = 0.
Дальнейшие варианты, зависят от значения Ь.
1)   Ь = 1
       1 × 6 = 6   => Т=6
       6 × 6 = 36  => С=6
       С = Т
Вариант не подходит
2)  Ь = 2
       2 × 6 = 12  =>  Т=2
       Т = Ь
Вариант не подходит
3)  Ь = 3
       3 × 6 = 18  => Т=8
       6 × 8 (+1 в уме) = 49  =>  С=9
       П Я 8 3
  ×              6 0
 
   Т Р И 9 8 0
«Я» не может ровняться 6 т.к. 6×6 (+4 в уме) = 40  => И=0
И = А
Если «Я» = 7, то 6×7 ( +4 в уме ) = 67  => «И»=7
Я = И
Я ≠ 7
Если «Я» = 1, то  6×1 ( +4 в уме ) = 10   => «И»=0
И=А
Я ≠ 1
Если  «Я» = 2, то 6×2( +4 в уме ) = 16   => «И» = 6
    П 6 8 3
×            6 0                                                                                       

 Т Р 6 9 8 0
Подберем значения «П»:
«П» ≠ 1, т.к. П × 6 должно быть двузначное число.
Если «П» = 2, то «Р» = 5, но в таком случае «Т» имеет два значения 1 и 8, что не возможно.
П≠2
Если П=4, то Р= 7 и Т снова имеет два значения.
Вариант не возможен.
4)    Ь = 4
       6 × 4 = 24
       Ь = Т
Этот вариант не подходит.

5)  Ь = 5
     5 × 6 = 30
     Т = А
Этот вариант не подходит
6)  Ь = 6
     6 × 6 = 36
     Ь = Т
Этот вариант не подходит
7)  Ь = 7
     7 × 6 = 42
     Т = 2
     2 × 6 ( +4 в уме ) = 16
     Я ≠ 1, т.к. тогда  И = Ь
     Если Я = 3,  3 × 6 ( +1 в уме ) = 19
     И = 9
         П 3 2 7
    ×             6 0
     
Т Р 9 6 2 0
П ≠ 8, т.к. 8 × 6 = 49, Р = И
П ≠ 5, т.к. 5 × 6 = 30, А = Р
Если П = 4, то Т = 2, а Р = 5.
Ответ: ПЯТЬ × 60 = ТРИСТА
             4327 × 60 = 259620 

Можно составить программу:

В которой   П = p, Я = u, Т = t, Ь = I,
Т = t, Р = r, И = e, С = s, Т = t, А = a.
Program Z4;
var
   p, u, t, i, r, e, s, a: integer;
Begin
For p:= 1 to 9 do
For u:= 0 to 9 do
For t:= 1 to 9 do
For i:= 0 to 9 do
For r:= 0 to 9 do
For e:= 0 to 9 do
For s:= 0 to 9 do
For a:= 0 to 9 do
If (p<>u) and (p<>t) and (p<>i) and (p<>r) and (p<>e) and (p<>s) and (p<>a)
and (u<>t) and (u<>i) and (u<>r) and (u<>e) and (u<>s) and (u<>a) and (t<>i)
and (t<>r) and (t<>e) and (t<>s) and (t<>a) and (i<>r) and (i<>e) and (i<>s)
and (i<>a) and (r<>e) and (r<>s) and (r<>a) and (e<>s) and (e<>a) and (s<>a) Then begin
Begin
If 60*(1000*p+100*u+10*t+i)=(100000*t+10000*r+1000*e+100*s+10*t+a) Then
           writeln ('ПЯТЬ = ', 1000*p+100*u+10*t+i,', ', 'ТРИСТА = ', 100000*t+10000*r+1000*e+100*s+10*t+a);
End;
End;
End.
Решение Усковой Ольги:
          В данной задаче удобно записывать выражение столбиком. Понятно, что  после                          умножения на 60 А=0.
                х ПЯТЬ        
                         60
             ________
              ТРИСТ0
         Теперь, думаю, что стоит сократить число вариантов цифры Т. Это сделаем след.образом.     Умножаем  9999 (это самое большое 4-ехзначное число, чтобы найти самый большой ответ) на 60. Получается, что Т не больше, чем 5.
Но все-таки стоит исключить еще несколько вариантов. Для этого, нужно выписать таблицу умножения на 6.
6∙1=6
6∙2=12
6∙3=18
6∙4=24
6∙5=30
6∙6=36
6∙7=42
6∙8=48
6∙9=54
Из этой таблицы исключим все варианты не подходящие по Ь. Это все числа, которые при умножении на 6 заканчиваются на тот же множитель. Т.е. 6, 12, 24, 36, 48-не подходят.
Остается Ь=3, 7, 9. Ь≠5 т.к. Т никак не может быть 0. Так же, можно сказать, что Т- четное.
Тогда, Допустим, что Т=2.
  х ПЯ2Ь        
           60
________
2РИС20
Если Т=2, то Ь=7  (по табл. умножения). В уме 4.


х   ПЯ27        
           60
________
2РИ620
Теперь попробуем найти П. Чтобы после умножения мы получили 2, П≥4.
Допустим, П=4.
х   4Я27        
          60
________
24И620         В уме 1.
Но П≠Р. Тогда Мы можем взять число больше, а это только 9-ка, либо на месте буквы Я написать такое, число, которое прибавит единицу (двойку нельзя, т.к. Т=2). 
Тогда нам ничего не остается, как поставить на место буквы Я тройку. Я=3.
х   4327        
          60
________
  259620        
Ответ:  4327∙60=259620

Решение Федорова Дениса:
 внесём в таблицу 9×9 числа от 1 до 9 так, чтобы в квадратах 3×3 сумма цифр равнялась 36.
таблица 1.
1
4
7
1
4
7
1
4
7
2
5
8
2
5
8
2
5
8
3
6
9
3
6
9
3
6
9
7
1
4
7
1
4
7
1
4
8
2
5
8
2
5
8
2
5
9
3
6
9
3
6
9
3
6
4
7
1
4
7
1
4
7
1
5
8
2
5
8
2
5
8
2
6
9
3
6
9
3
6
9
3
Повернём таблицу на 90 градусов. И обозначим таблица 2.
7
8
9
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
7
8
9
1
2
3
7
8
9
4
5
6
7
8
9
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
7
8
9
1
2
3
7
8
9
4
5
6
7
8
9
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
7
8
9
1
2
3
7
8
9
4
5
6
Понятно, что в повёрнутой таблице сумма чисел в каждом квадрате 3х3 также равна 36.Заметим теперь, что одинаковым числам таблицы 1 соответствуют различные числа таблицы 2, поэтому существует взаимно однозначное соответствие между клетками таблицы 9×9 и парами а,в , где a,b = 1,2,3..9. Например, числу 1 в таблице 1 соответствует число 7 в таблице 2; числу 4 в таблице 1 соответствует число 8 в таблице 2 (выделенные клетки) и т.д.
Если же теперь взять новую таблицу 9×9 и в каждой клетке соответствующей паре a,b, записать число 9a+b-9, то каждое из чисел от 1 до 81 встретится в этой таблице ровно один раз. Например: 9*1+7-9=7; 9*4+8-9=35 и т.д. заполняем таблицу. А сумма чисел в каждом квадрате 3×3 будет одинаковой и равна 369.

7
35
63
4
32
60
1
29
57
13
41
69
10
38
66
16
44
72
19
47
75
25
53
81
27
50
78
61
8
36
58
5
33
55
2
30
67
14
42
64
11
39
70
17
45
73
20
48
79
26
54
76
23
51
34
62
9
31
59
6
28
56
3
40
68
15
37
65
12
43
71
18
46
74
21
52
80
22
49
77
24

Ответ: Можно в клетки таблицы 9х9 записать натуральные число от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3х3 была одна и та же.
4.Расшифровать равенство 60·ПЯТЬ=ТРИСТА, в котором разные буквы означают разные цифры.
Решение: очевидно А=0, подбираем Ь:
Подбираем
Получаем
Результат
Ь=1
тогда Т=6, но тогда число ТРИСТА должно начинаться с 6, а это невозможно (6*9=54).
Ь≠1
Ь=2

тогда Т=2, а 2=Ь
Ь≠2
Ь=3

тогда Т=8, но тогда число ТРИСТА должно начинаться с 8, а это невозможно (6*9=54).
Ь≠3


Ь=4

тогда Т=4, а 4=Ь
Ь≠4

Ь=5

тогда Т=0, (6*5=30) но число ТРИСТА не может начинаться с 0
Ь≠5

Ь=6

тогда Т=6, но 6 это Ь
Ь≠6
Ь=7
тогда Т=2, умножая 2*6 получим С=6. Смотрим на первую букву Т=2 и видим что единственное число умноженное на 6, которое начинается на 2 это 24, значит П =4. Понятно, что нужна 1 после умножения на Я, поэтому единственное число это Я=3, (6*3=18, еще 6*2=12, но 2=Т)
 4327          *      60
259620


Ответ: 60*4327=259620
Другое решение:
Составим программу
Program z5;
var
A,B,C,D,E,I,F,G:integer;
Begin
For A:=1 to 9 do
For B:=0 to 9 do
For C:=1 to 9 do
For D:=0 to 9 do
For E:=0 to 9 do
For I:=0 to 9 do
For F:=0 to 9 do
For G:=0 to 9 do
If (60*(1000*A+100*B+10*C+D)=100000*C+10000*E+1000*I+100*F+10*C+G)and(A<>B)and(A<>C)and(A<>D)and(A<>E)and(A<>I)and(A<>F)and(A<>G)and(B<>C)and(B<>D)and(B<>E)and(B<>I)and(B<>F)and(B<>G)and(C<>D)and(C<>E)and(C<>I)and(C<>F)and(C<>G)and(D<>E)and(D<>I)and(D<>F)and(D<>G)and(E<>I)and(E<>F)and(E<>G)and(I<>F)and(I<>G)and(F<>G) then
writeln('ПЯТЬ=',1000*A+100*B+10*C+D,' ТРИСТА=',100000*C+10000*E+1000*I+100*F+10*C+G)
else;
end.
Получаем число ПЯТЬ=4327 ТРИСТА=259620

5.Когда четырёхзначное число удвоили и к результату прибавили 5, то получилось число, обращенное к данному. Что это за  число?
Решение Бондаренко Виктории:
Пусть нужное нам число будет abcd, тогда по условию задачи составим выражение:
2abcd+5=dcba
Предположим, что, а=1,самой маленькой цифре:
2*1bcd+5=dcb1
Теперь, чтобы такое число у нас всё-таки получилось последующие числа (но не все возьмём хотя бы 2) должно равняться самой большой цифре-9,:
2*199d+5=d991
Теперь умножим 2 на 19. получим 38-предположим, что последнее число равно 3, проверим:
2*1993 +5=3991
Ответ: Это число-1993
Решение Борисовой Арины:
2000а + 200в + 20с + 2d + 5 = 1000d + 100c + 10b + a
1999a =998d + 80c -190b -5
 а - нечетное, d  - не равно 0.
(2d-a) - кратно 5.
d=3; a=1  или  d=4;a=3    d=5; a=5       d=9; a=3.
Разница между a и d не может быть больше 2.
6000 + 200b + 20c +2d+ 5=4000+100c+10b+a
2010=80м-190л  не подходит.
a=1; d=3.
2000+200b+20c+6 +5 = 3000+100c+10b+1
990 = 190b-80c
99 = 19b-8c
b=9
c=9
Искомое число - 1993.
Ответ: 1993.
Решение Усковой Ольги:
авсд∙2+5=дсва
Тогда, а- нечетное (т.к. при умножении на 2 получаем четное д, а к нему прибавляем 5 и получаем нечетное а).
Число авсд максимально может быть равно 4997. Но мы уже остановились на том, что число а- нечетное, а=1; 3.
Рассмотрим, когда а=1.
1всд∙2+5=дсв1
Если это так, то д=3 (1 в уме); 8 (2 в уме).
Возьмем д=3.
1вс3∙2+5=3св1
Число в будет нечетным при а=1, 3.
Тогда, допустим, что число в=5.
15с3∙2+5=3с51
В там случае число с должно быть равно 7 или 2 (т.к. в уме 1).
Проверим эти варианты.
1523∙2+5=3251-не подходит
1573∙2+5=3151-не подходит

Тогда, рассмотрим в=7.
17с3∙2+5=3с71
В таком случае с=3; 8.
1733∙2+5=3471-не подходит
1783∙2+5=3571-не подходит

Допустим, что в=9.
19с3∙2+5=3с91
Тогда с=4; 9.
1943∙2+5=3891
1993∙2+5=3991
Итак, мы нашли это число.
Ответ: 1993-изначальное. 3991-обращенное.
Решение Федорова Дениса:
Решение: обращенное число это число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Оно может быть вида АВСД и ДСВА или АВВС и СВВА. Подбирая сначала цифры, соответствующие разным буквам я не смог получить равенство АВСД·2+5= ДСВА, а учитывая  АВВС·2+5= СВВА равенство получить можно. Т.к. мы из четырехзначного числа получаем четырехзначное,  и будем умножать А на 2, то надо 2 умножать на 4,3,2,1, в противном случае получится  пятизначное число. Если С=4, то А=4·2+5=13, т.е А=3, тогда С=6 – противоречие.
Если С=2, то А=2·2+5=9 , но 2·9=18 а это уже пятизначное число, противоречие.
Если С=1, то А=1·2+5=8, но 2·8=16 а это уже пятизначное число, противоречие.
Если С=3, то А=3·2+5=11, т.е.А=1. В может быть только 9, тогда получается
1993·2+5=3991
Ответ:1993
Другое решение:
Составим программу
Program z5;
var
A,B,C,D:integer;
Begin
For A:=1 to 9 do
For B:=0 to 9 do
For C:=0 to 9 do
For D:=1 to 9 do
If (1000*A+100*B+10*C+D)*2+5=1000*D+100*C+10*B+A then
writeln(1000*A+100*B+10*C+D)
else;
end.
Получится 1993
Ответ:1993.
6.  При каких натуральных n число  6n -5n   является точным квадратом?
Решение Юровой Полины:
Распишем разность степеней по формуле.
62-52=(6-5)(6+5)
63-53=(6-5)(62+5*6+52)
64-54=(6-5)(6+5)(62+52)
В каждой формуле первый множитель - разница 6 и 5, т.е. 1. Тогда второй множитель должен сам по себе быть квадратом. Но в 1 случае он равен 11, а во втором 91. В третьем случае два множителя так же не дадут квадрат.
Если мы посмотрим на последующие формулы, то увидим, что там перемножаются разница чисел, а так же суммы чисел, их квадратов, четвертых степеней и т.д. Но эти суммы не кратны друг другу, и сами по себе не являются квадратами, поэтому разность степеней 5 и 6 квадратом не будет.
Значит, единственное значение n - 1, т.к. разница 6 и 5 так же равна 1, а это число является любой своей степенью.
Ответ: 1.
Решение Борисовой Арины:
Можно разложить данное выражение по формуле сокращенного умножения:
(an - bn) = (a - b)(an-1 - an-2 *b + an-3 b2 - ... - a*bn-2 + bn-1)
а = 6, b = 5.
6n - 5n = (6-5)(6n-1 - 6n-2 *5 + 6n-3 * 52 - ... - 6*5n-2 + 5n-1)
Следовательно, значение N здесь одно, как и точный квадрат выражения.
Ответ: n = 1
Не доведена мысль до конца

РешениеФедорова Дениса:
БИНОМ НЬЮТОНА: an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)
6n-5n=(6-5)(6n-1+6n-25+…+6∙5n-2+5n-1) Квадрат числа есть только в (6-5)=1.
Ответ: 1.
7. Сколькими способами можно расставить  на окружности 1992 натуральных числа  таким образом, чтобы каждое из них встречалось столько раз, каково следующее за ним по часовой стрелке?
Решение Усковой Ольги:
Очевидно, что расставить на окружности 1992 различных числа - невозможно. Тогда рассмотрим такой вариант:
Допустим, что по всей окружности расставлены только 2 числа а и в. Попробуем расставлять на окружности числа а и в, чередуя их. Тогда, получается, что количество чисел а на окружности будет равно количеству чисел в (т.к. 1992-четное число). Получается, что вся окружность будет заполнена одним и тем же числом, повторяющимся 1992 раза. Но нам надо определится одно ли это число или нет. Если  мы расставим все единицы, то с самого начала получим противоречие, т.к. после единицы мы ставим единицу, и вновь единицу, и вместо одной у нас будет уже три.  Так же будет используя любое число. На каком-то моменте мы уже не будем соответствовать условию. Даже расставляя на окружности 1991, на 1991 месте мы получим то, что надо по условию, но у нас останется пустым 1992 место, на которое мы тоже должны поставить 1991, а если мы это число туда поставим, то уже вновь не будем соответствовать условию.  Тогда, выходит, что по всей окружности мы поставим число 1992.
Ответ: 1992
Решение Юровой Полины:
Во-первых, в кругу не должно стоять число больше 1992, потому что тогда какое-то число должно будет стоять больше 1992 раз, а такого быть не может.
Во-вторых, перед каждым одинаковым числом должны так же стоять одинаковые числа, т.к. они должны встречаться одно и то же количество раз. Но тогда получается, что каждое число в кругу повторяется одно и то же количество раз. Но это будет невозможно, если расставлять несколько разных чисел, потому что по условию какие-то числа должны будут встречаться меньшее количество раз, а их должно быть одинаковое количество.
Получается, что единственный вариант - это когда все числа одинаковые. Тогда, если всего встречается 1992 числа таких, то каждое число должно быть равно 1992.
8.Можно ли представить число 1992 в виде суммы трёхзначного числа и куба суммы цифр этого числа?

Решение Балаева Антона:
Program Z8;
var
   a, b, c: LongInt;
Begin
   For a:= 1 to 9 do
     For b:= 0 to 9 do
        For c:= 0 to 9 do
        Begin
     If (100*a+10*b+c)+power(a+b+c, 3)= 1992 Then
                writeln ('число можно представить:', 100*a+10*b+c);
   End;
End.
264 + (2+6+4)3 = 1992
Ответ: да, можно.
Решение Быстрякова Даниила:
Надо составить уравнение: 100a+10b+c+(a+b+c)3=1992, 100a+ 10b+c - это трехзначное число, (a+b+c)3 - куб суммы его цифр. Проверяем кубы двузначных чисел: 103=1000, 113=1331, 123= =1728, 133=2197 => сумма цифр должна быть 11 или 12. Допустим сумма цифр равна 11, тогда 1992-1331=661, но 6+6+1=13 - не подходит. Пусть сумма цифр равна 12, тогда 1992-1728=264, и 2+6+ +4 = 12 – подходит => ответ:264.
Решение Юровой  Полины:
Чтобы число было трехзначным, куб должен быть хотя бы больше 992.
9*9*9=729 - это число еще не подходит.
10*10*10=1000, 1992-1000=992, сумма цифр равна 20, а не 10.
11*11*11=1331, 1992-1331=661, сумма цифр - 13.
12*12*12=1728, 1992-1728=264. 2+6+4=12. Это число подходит.
Значит, 264+(2+6+4)3=264+123=264+1728=1992. Такое число существует.
Ответ: можно.
9.Найти наибольшее число n, для  которого существует двузначное число, равное произведению своих цифр, увеличенных на n.

Решение Федорова Дениса:
AB=(A+n)(B+n)
Начнём подбирать с 99. У этого числа А=В, а его множители 9 и 11 => 99 не подходит.
98=2·7·7=2·49=14·7 но ни один из вариантов не подходит т.к. 2<8 и 2<9, 7<9 и 7<8.
97 не подходит т.к. это простое число
96=2·2·2·2·2·3=2·48=4·24=8·12=16·6=32·3 единственный возможный вариант это 96=12·8 но (9+3)(6+3)=12·9 – не получается, поэтому  96 не подходит.
95=19·5 но этот вариант не подходит т.к. 5<9 и 5=5.
94=2·47 но этот вариант не подходит т.к. 2<9 и 2<4.
93=3·31 но этот вариант не подходит т.к. 3<9 и 3<3.
92=2·2·23=4·23  но (9+14)(2+14)=23·16 – не подходит.
91=7·13 но (9+4)(1+4)=13·5 – не подходит.
90=2·5·3·3=2·45=10·9=30·3=15·6 подходит только 15·6
90=15·6=(9+6)(0+6), n=6
Ответ: 6.
Другое решение:
Составим программу
Program z9;
var
A,B,n:integer;
Begin
For A:=1 to 9 do
For B:=0 to 9 do
For n:=0 to 9 do
If 10*A+B=(A+n)*(B+n) then
writeln(10*A+b,' ',n)
else;
end.
Получим:
12 2
18 1
24 2
35 2
50 5
56 2
90 6
Наибольшему числу 90 соответствует n=6.
Ответ: n=6.
Решение Юровой Полины:
Составим программу. Пусть двузначное число - а. Возьмем значение а от 10 до 99, а значение n.
Если n прибавляется к каждой цифре числа, то разница между цифрами числа должна быть равна разнице между множителей, из которых это число можно получить. Если мы возьмем n за 10, то 10*10=100 - уже трехзначное число, а к 10 должны будут быть еще прибавлены цифры. Поэтому возьмем значение n от 1 до 9.
Первую цифру числа а найдем через целую часть деления его на 10, а вторую цифру - от остатка деления его на 10. Если число а будет равно произведению его цифр, увеличенных на n, программа выведет значение n, и значение а - чтобы можно было это проверить.
Program Z9;
var
a, n: integer;
Begin
For a:=10 to 99 do
For n:=1 to 9 do
If ((a div 10)+n)*((a mod 10)+n)=a then
writeln ('a=', a, ', n=', n)
else;
end.
Получаем ответы, из которых наибольшее n в "a=90, n=6".
Проверим: (9+6)(0+6)=15*6=90.
Значит, наибольшее n=6.
Ответ: 6.
10.  106 тонн строительных материалов упаковано в ящиках; масса каждого не превышает 6 тонн. Грузовой лифт перевозит их на крышу небоскреба. Если масса груза более 25 тонн, лифт автоматически отключается. Какое количество  рейсов лифта достаточно для перевозки груза?
Решение Юровой Полины:
Чем меньше вес груза, упакованного в ящики, тем легче заполнить ими лифт, чтобы вес всего груза был максимально приближен к 25. Если каждый ящик весит, например, 1 тонну, то можно будет отправлять по 25 таких ящиков. Тогда 106:25=4 (6 ост). Оставшиеся 6 тонн нужно будет отправить еще одним рейсом.
Рассмотрим случай, когда вес каждого ящика - максимальное число, примерно равное 6. Тогда 6*4=24. 106:24=4 (10 ост). Опять понадобится 5 рейсов.
Теперь возьмем число, которое меньше 6, но уже немного больше 5, чтобы 5 ящиков в один лифт нельзя было загрузить - 5,1.
5,1*4=20,4 - столько поместится в один рейс.
20,4*5=102 - это число меньше 106, значит, 5 рейсов в этом случае не хватит. Понадобится 6 рейсов. Значит, весь груз получится перевезти 6 рейсами.
Ответ: 6 рейсов.
Решение Ксенофонтовой Юлии:
В любом рейсе может быть минимум 19т груза. Значит, наибольшее количество рейсов будет 106:19= около 6.
Предположим, что нам достаточно всего 5 рейсов.106:25=около 5).Но может быть случай, когда мы возьмем 21 ящик с одинаковым количеством тонн материала и попробуем перевезти. Следовательно, в одном из таких рейсов встретится пять ящиков с массой более чем 25 тонн, а значит количество перевозок будет больше 5(106*5:21=25,2> 25т-а значит еще одна перевозка).
Ответ: 6 рейсов. 
Вот и ВСЁ! УРА тем, кто работал!!!  Молодцы! Помним, что в  начале сентября - ЗАЧЕТ по 50 задачам олимпиады!!! Разбираем!!!