Решения пятого тура олимпиады
«Надежда ЛИСы»
1.Школьник купил
авторучку, книгу, портфель и футбольный мяч. Если бы эти предметы стоили
соответственно в 12, 6, 4 и 3 раза дешевле, то он заплатил бы 10000 р. А если
бы они стоили соответственно в 12, 15, 20 и 30 раз дешевле, то он заплатил бы
5000 рублей. Что дороже: авторучка или портфель?
Решение Юровой
Полины:
Чтобы не
выполнять вычисления с дробями, обозначим цену каждого предмета числом, которое
делится на все числа - 3, 4, 6 и т.д.
НОК этих чисел - 60. Пусть авторучка стоит 60a, книга - 60b, портфель - 60c, мяч - 60d. Составим уравнения.
5a+10b+15c+20d=10000
5a+4b+3c+2d=5000
Отнимем
от первого уравнения второе. Получим:
6b+12c+18d=5000
В правой
части второго и третьего уравнения одинаковое число. Приравняем левые части
обоих уравнений.
5a+4b+3c+2d=6b+12c+18d
5a+4b-6b+3c-12c+2d-18d=0
5a-6b-9c-16d=0
Перенесем
числа в разные части уравнения, чтобы перед каждым числом стоял знак +.
5a=6b+9c+16d
Получается,
что 5a стоит уже как 9c и два других числа. А поскольку изначально a и c
записывались с одинаковым числовым показателем, и b и d не могут быть
отрицательными числами, т.к. это цена, то a>c, следовательно 60a>60c.
Значит, авторучка стоит дороже.
Решение
Великодного Александра:
(красным мои исправления)
Пусть x,y,z,t увеличенные в 60 раз цены авторучки, книги, портфеля и мяча.
Будем измерять в 10-тках тысячах рублей. Из первого условия следует 5x+10y+15z+20t=60, или x+2y+3z+4t=12 (1), а из второго условия следует: 5x+4y+3z+2t=30 (2). Складывая эти равенства, получим x+y+z+t=7. Отсюда найдём x=7-y-z-t, t=7-x-y-z. Подставим это в (1) и (2) соответственно, получим: y+2z+3t=5 (3), 3x+2y+z=16 (4). Из (3): y=5-2z-3t (5) а, из (4): 2y=16-z-3x (6). Подставляя (5) в (6) найдём: 3x=6+3z+6t. Отсюда следует, что X>Z.
Будем измерять в 10-тках тысячах рублей. Из первого условия следует 5x+10y+15z+20t=60, или x+2y+3z+4t=12 (1), а из второго условия следует: 5x+4y+3z+2t=30 (2). Складывая эти равенства, получим x+y+z+t=7. Отсюда найдём x=7-y-z-t, t=7-x-y-z. Подставим это в (1) и (2) соответственно, получим: y+2z+3t=5 (3), 3x+2y+z=16 (4). Из (3): y=5-2z-3t (5) а, из (4): 2y=16-z-3x (6). Подставляя (5) в (6) найдём: 3x=6+3z+6t. Отсюда следует, что X>Z.
2. Товарный поезд, отправившись
из Москвы в х часов у минут, прибыл в Волгоград в у часов z минут.
Время в пути составило z
часов х минут.
Найти все возможные значения х.
Решение Федорова Дениса: Товарный
поезд, отправившись из Москвы в х часов у минут,
прибыл в Волгоград в у часов z минут. Время в пути составило z часов х минут. Найти все возможные
значения х.
Решение:
Время
отправления X ч Y мин
Время
прибытия Y ч Z мин
Время в
пути Z ч X мин
X,Y,Z<24 и X,Y,Z<60
Заметим, что
X+Y<24+24<60, поэтому
число минут
времени прибытия Z=X мин в пути +
Y мин отправления.
Число часов
времени прибытия Y отличается от суммы X+Z=2X+Y (заменим Z на X+Y) на число кратное числу часов в сутках – 24. Отсюда
видно, что X кратно 12, а т.к. X<24, то X может быть равен 0. Например, поезд
отходит в 0.10, находится в пути 10 часов и прибывает в 10.10. Или X=12. Например, поезд отходит в 12.10, находится в пути
22 часов 12 минут и прибывает в 10.22.
Ответ: 0 или
12.
3. Можно ли в клетки таблицы 9х9
записать натуральные число от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате
3х3 была одна и та же?
Решение Иванова Егора:
Таблица
1, изображенная на рисунке слева одержит по девять раз каждое из чисел 1,
2, ..., 9 и обладает тем свойством, что сумма чисел в каждом квадрате 3×3 равна
36.
Ясно, что таблица 2, получаемая из нее
поворотом на 90° (рис. справа), также обладает указанными свойствами. Заметим
теперь, что одинаковым числам таблицы 1 соответствуют различные числа таблицы 2, поэтому существует
взаимно однозначное соответствие между клетками таблицы 9×9 и парами (a, b), где a, b= 1, 2, ..., 9. Если теперь взять новую таблицу 9×9 и в её
клетке, соответствующей паре (a, b),
записать число 9a + b– 9, то каждое
из чисел от 1 до 81 встретится в такой таблице ровно один раз, а сумма чисел в
каждом квадрате 3×3 будет одна и та же (она равна 9·45 + 45 – 9·9 = 369, см.
рис.).
4.Расшифровать равенство
60·ПЯТЬ=ТРИСТА, в котором разные буквы означают разные цифры.
Решение Балаева Антона:
Запишем
равенство 60 × ПЯТЬ = ТРИСТА, как :
П Я Т Ь
× 6 0
Т Р И С Т А
Отсюда в
любом случае А = 0.
Дальнейшие
варианты, зависят от значения Ь.
1)
Ь = 1
1 × 6 = 6 => Т=6
6 × 6 = 36 => С=6
С = Т
Вариант
не подходит
2)
Ь = 2
2 × 6 = 12 => Т=2
Т = Ь
Вариант
не подходит
3) Ь = 3
3 × 6 = 18 => Т=8
6 × 8 (+1 в уме) = 49 => С=9
П Я 8 3
×
6 0
Т Р И 9 8 0
«Я» не
может ровняться 6 т.к. 6×6 (+4 в уме) = 40 => И=0
И = А
Если «Я»
=
7, то 6×7 ( +4 в уме ) = 67 => «И»=7
Я = И
Я ≠ 7
Если «Я»
= 1, то 6×1 ( +4 в уме ) = 10 => «И»=0
И=А
Я ≠ 1
Если
«Я» = 2, то 6×2( +4 в уме ) = 16
=> «И» = 6
П 6 8 3
× 6 0
Т
Р 6 9 8 0
Подберем
значения «П»:
«П» ≠ 1,
т.к. П × 6 должно быть двузначное число.
Если «П»
= 2, то «Р» = 5, но в таком случае «Т» имеет два значения 1 и 8, что не
возможно.
П≠2
Если
П=4, то Р= 7 и Т снова имеет два значения.
Вариант
не возможен.
4)
Ь = 4
6 × 4 = 24
Ь = Т
Этот
вариант не подходит.
5)
Ь = 5
5 × 6 = 30
Т = А
Этот
вариант не подходит
6)
Ь = 6
6 × 6 = 36
Ь = Т
Этот
вариант не подходит
7) Ь = 7
7 × 6 = 42
Т = 2
2 × 6 ( +4 в уме ) = 16
Я ≠ 1, т.к. тогда И = Ь
Если Я = 3, 3 × 6 ( +1 в уме ) =
19
И = 9
П 3 2 7
× 6 0
Т Р 9 6 2 0
П ≠ 8, т.к. 8 × 6 = 49, Р = И
П ≠ 5, т.к. 5 × 6 = 30, А = Р
Если П = 4, то Т = 2, а Р = 5.
Ответ: ПЯТЬ × 60 = ТРИСТА
4327 ×
60 = 259620
Можно составить программу:
В
которой П = p, Я = u, Т = t, Ь = I,
Т = t, Р = r, И = e, С = s, Т = t, А = a.
Program Z4;
var
p, u, t, i, r, e, s, a: integer;
Begin
For p:= 1 to 9 do
For u:= 0 to 9 do
For t:= 1 to 9 do
For i:= 0 to 9 do
For r:= 0 to 9 do
For e:= 0 to 9 do
For s:= 0 to 9 do
For a:= 0 to 9 do
If (p<>u) and (p<>t) and
(p<>i) and (p<>r) and (p<>e) and (p<>s)
and (p<>a)
and (u<>t) and (u<>i) and
(u<>r) and (u<>e) and (u<>s) and (u<>a)
and (t<>i)
and (t<>r) and (t<>e) and
(t<>s) and (t<>a) and (i<>r) and (i<>e)
and (i<>s)
and (i<>a) and (r<>e) and
(r<>s) and (r<>a) and (e<>s) and (e<>a)
and (s<>a) Then begin
Begin
If 60*(1000*p+100*u+10*t+i)=(100000*t+10000*r+1000*e+100*s+10*t+a) Then
writeln ('ПЯТЬ = ', 1000*p+100*u+10*t+i,', ', 'ТРИСТА = ', 100000*t+10000*r+1000*e+100*s+10*t+a);
End;
End;
End.
Решение Усковой Ольги:
В данной задаче удобно записывать
выражение столбиком. Понятно, что после умножения на 60 А=0.
х ПЯТЬ
60
________
ТРИСТ0
Теперь, думаю, что стоит сократить
число вариантов цифры Т. Это сделаем след.образом. Умножаем 9999 (это самое большое 4-ехзначное число,
чтобы найти самый большой ответ) на 60. Получается, что Т не больше, чем 5.
Но все-таки стоит исключить еще
несколько вариантов. Для этого, нужно выписать таблицу умножения на 6.
6∙1=6
6∙1=6
6∙2=12
6∙3=18
6∙4=24
6∙5=30
6∙6=36
6∙7=42
6∙8=48
6∙9=54
Из этой таблицы исключим все
варианты не подходящие по Ь. Это все числа, которые при умножении на 6
заканчиваются на тот же множитель. Т.е. 6, 12, 24, 36, 48-не подходят.
Остается Ь=3, 7, 9. Ь≠5 т.к. Т никак
не может быть 0. Так же, можно сказать, что Т- четное.
Тогда, Допустим, что Т=2.
Тогда, Допустим, что Т=2.
х ПЯ2Ь
60
________
2РИС20
Если Т=2, то Ь=7 (по табл. умножения). В уме 4.
х ПЯ27
60
________
2РИ620
Теперь попробуем найти П. Чтобы
после умножения мы получили 2, П≥4.
Допустим, П=4.
х 4Я27
60
________
24И620 В уме 1.
Но
П≠Р. Тогда Мы можем взять число больше, а это только 9-ка, либо на месте буквы
Я написать такое, число, которое прибавит единицу (двойку нельзя, т.к.
Т=2).
Тогда
нам ничего не остается, как поставить на место буквы Я тройку. Я=3.
х 4327
60
________
259620
Ответ: 4327∙60=259620
Решение
Федорова Дениса:
внесём в таблицу 9×9 числа от 1 до 9 так,
чтобы в квадратах 3×3 сумма цифр равнялась 36.
таблица 1.
1
|
4
|
7
|
1
|
4
|
7
|
1
|
4
|
7
|
2
|
5
|
8
|
2
|
5
|
8
|
2
|
5
|
8
|
3
|
6
|
9
|
3
|
6
|
9
|
3
|
6
|
9
|
7
|
1
|
4
|
7
|
1
|
4
|
7
|
1
|
4
|
8
|
2
|
5
|
8
|
2
|
5
|
8
|
2
|
5
|
9
|
3
|
6
|
9
|
3
|
6
|
9
|
3
|
6
|
4
|
7
|
1
|
4
|
7
|
1
|
4
|
7
|
1
|
5
|
8
|
2
|
5
|
8
|
2
|
5
|
8
|
2
|
6
|
9
|
3
|
6
|
9
|
3
|
6
|
9
|
3
|
Повернём
таблицу на 90 градусов. И обозначим таблица 2.
7
|
8
|
9
|
4
|
5
|
6
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
1
|
2
|
3
|
7
|
8
|
9
|
1
|
2
|
3
|
7
|
8
|
9
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
4
|
5
|
6
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
1
|
2
|
3
|
7
|
8
|
9
|
1
|
2
|
3
|
7
|
8
|
9
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
4
|
5
|
6
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
1
|
2
|
3
|
7
|
8
|
9
|
1
|
2
|
3
|
7
|
8
|
9
|
4
|
5
|
6
|
Понятно, что
в повёрнутой таблице сумма чисел в каждом квадрате 3х3 также равна 36.Заметим
теперь, что одинаковым числам таблицы 1 соответствуют различные числа таблицы
2, поэтому существует взаимно однозначное соответствие между клетками таблицы
9×9 и парами а,в , где a,b = 1,2,3..9. Например, числу 1 в таблице 1 соответствует число 7 в таблице 2; числу 4 в таблице 1 соответствует
число 8 в таблице 2
(выделенные клетки) и т.д.
Если же
теперь взять новую таблицу 9×9 и в каждой клетке соответствующей паре a,b, записать число 9a+b-9, то каждое из чисел от 1 до 81
встретится в этой таблице ровно один раз. Например: 9*1+7-9=7; 9*4+8-9=35 и
т.д. заполняем таблицу. А сумма чисел в каждом квадрате 3×3 будет одинаковой и
равна 369.
7
|
35
|
63
|
4
|
32
|
60
|
1
|
29
|
57
|
13
|
41
|
69
|
10
|
38
|
66
|
16
|
44
|
72
|
19
|
47
|
75
|
25
|
53
|
81
|
27
|
50
|
78
|
61
|
8
|
36
|
58
|
5
|
33
|
55
|
2
|
30
|
67
|
14
|
42
|
64
|
11
|
39
|
70
|
17
|
45
|
73
|
20
|
48
|
79
|
26
|
54
|
76
|
23
|
51
|
34
|
62
|
9
|
31
|
59
|
6
|
28
|
56
|
3
|
40
|
68
|
15
|
37
|
65
|
12
|
43
|
71
|
18
|
46
|
74
|
21
|
52
|
80
|
22
|
49
|
77
|
24
|
Ответ: Можно
в клетки таблицы 9х9 записать натуральные число от 1 до 81 так, чтобы сумма
чисел в каждом квадрате 3х3 была одна и та же.
4.Расшифровать
равенство 60·ПЯТЬ=ТРИСТА, в котором разные буквы означают разные цифры.
Решение:
очевидно А=0, подбираем Ь:
Подбираем
|
Получаем
|
Результат
|
Ь=1
|
тогда Т=6,
но тогда число ТРИСТА должно начинаться с 6, а это невозможно (6*9=54).
|
Ь≠1
|
Ь=2
|
тогда Т=2, а 2=Ь
|
Ь≠2
|
Ь=3
|
тогда Т=8,
но тогда число ТРИСТА должно начинаться с 8, а это невозможно (6*9=54).
|
Ь≠3
|
Ь=4
|
тогда Т=4, а 4=Ь
|
Ь≠4
|
Ь=5
|
тогда Т=0, (6*5=30) но число
ТРИСТА не может начинаться с 0
|
Ь≠5
|
Ь=6
|
тогда Т=6, но 6 это Ь
|
Ь≠6
|
Ь=7
|
тогда Т=2, умножая 2*6 получим
С=6. Смотрим на первую букву Т=2 и видим что единственное число умноженное на
6, которое начинается на 2 это 24, значит П =4. Понятно, что нужна 1 после
умножения на Я, поэтому единственное число это Я=3, (6*3=18, еще 6*2=12, но
2=Т)
|
4327
* 60
259620
|
Ответ:
60*4327=259620
Другое
решение:
Составим
программу
Program z5;
var
A,B,C,D,E,I,F,G:integer;
Begin
For A:=1 to 9 do
For B:=0 to 9 do
For C:=1 to 9 do
For D:=0 to 9 do
For E:=0 to 9 do
For I:=0 to 9 do
For F:=0 to 9 do
For G:=0 to 9 do
If (60*(1000*A+100*B+10*C+D)=100000*C+10000*E+1000*I+100*F+10*C+G)and(A<>B)and(A<>C)and(A<>D)and(A<>E)and(A<>I)and(A<>F)and(A<>G)and(B<>C)and(B<>D)and(B<>E)and(B<>I)and(B<>F)and(B<>G)and(C<>D)and(C<>E)and(C<>I)and(C<>F)and(C<>G)and(D<>E)and(D<>I)and(D<>F)and(D<>G)and(E<>I)and(E<>F)and(E<>G)and(I<>F)and(I<>G)and(F<>G)
then
writeln('ПЯТЬ=',1000*A+100*B+10*C+D,' ТРИСТА=',100000*C+10000*E+1000*I+100*F+10*C+G)
else;
end.
Получаем число ПЯТЬ=4327
ТРИСТА=259620
5.Когда четырёхзначное число
удвоили и к результату прибавили 5, то получилось число, обращенное к данному.
Что это за число?
Решение Бондаренко Виктории:
Пусть нужное нам число будет abcd, тогда по условию задачи составим выражение:
2abcd+5=dcba
Предположим, что, а=1,самой маленькой цифре:
2*1bcd+5=dcb1
Теперь, чтобы такое число у нас всё-таки
получилось последующие числа (но не все возьмём хотя бы 2) должно равняться
самой большой цифре-9,:
2*199d+5=d991
Теперь умножим 2 на 19. получим
38-предположим, что последнее число равно 3, проверим:
2*1993 +5=3991
Ответ:
Это число-1993
Решение
Борисовой Арины:
2000а
+ 200в + 20с + 2d
+ 5 = 1000d + 100c + 10b + a
1999a =998d + 80c -190b -5
а - нечетное,
d - не равно 0.
(2d-a) - кратно 5.
d=3; a=1 или d=4;a=3 d=5; a=5 d=9; a=3.
Разница
между a
и d
не может быть больше 2.
6000 + 200b + 20c +2d+ 5=4000+100c+10b+a
2010=80м-190л не подходит.
a=1; d=3.
2000+200b+20c+6 +5 = 3000+100c+10b+1
990 = 190b-80c
99 = 19b-8c
b=9
c=9
Искомое
число - 1993.
Ответ: 1993.
Решение Усковой Ольги:
авсд∙2+5=дсва
Тогда, а- нечетное (т.к. при умножении на 2 получаем
четное д, а к нему прибавляем 5 и получаем нечетное а).
Число авсд максимально может быть равно 4997. Но мы
уже остановились на том, что число а- нечетное, а=1; 3.
Рассмотрим, когда а=1.
1всд∙2+5=дсв1
Если это так, то д=3 (1 в уме); 8 (2 в уме).
Возьмем д=3.
1вс3∙2+5=3св1
Число в будет нечетным при а=1, 3.
Тогда, допустим, что число в=5.
15с3∙2+5=3с51
В там случае число с должно быть равно 7 или 2 (т.к. в
уме 1).
Проверим эти варианты.
1523∙2+5=3251-не подходит
1573∙2+5=3151-не подходит
Тогда, рассмотрим в=7.
17с3∙2+5=3с71
В таком случае с=3; 8.
1733∙2+5=3471-не подходит
1783∙2+5=3571-не подходит
Допустим, что в=9.
19с3∙2+5=3с91
Тогда с=4; 9.
1943∙2+5=3891
1993∙2+5=3991
Итак, мы нашли это число.
Ответ: 1993-изначальное.
3991-обращенное.
Решение
Федорова Дениса:
Решение:
обращенное число это число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Оно может быть вида АВСД и ДСВА или АВВС и СВВА. Подбирая сначала цифры,
соответствующие разным буквам я не смог получить равенство АВСД·2+5= ДСВА, а
учитывая АВВС·2+5= СВВА равенство
получить можно. Т.к. мы из четырехзначного числа получаем четырехзначное, и будем умножать А на 2, то надо 2 умножать
на 4,3,2,1, в противном случае получится
пятизначное число. Если С=4, то А=4·2+5=13, т.е А=3, тогда С=6 – противоречие.
Если С=2, то
А=2·2+5=9 , но 2·9=18 а это уже пятизначное число, противоречие.
Если С=1, то
А=1·2+5=8, но 2·8=16 а это уже пятизначное число, противоречие.
Если С=3, то
А=3·2+5=11, т.е.А=1. В может быть только 9, тогда получается
1993·2+5=3991
Ответ:1993
Другое
решение:
Составим
программу
Program z5;
var
A,B,C,D:integer;
Begin
For A:=1 to 9 do
For B:=0 to 9 do
For C:=0 to 9 do
For D:=1 to 9 do
If (1000*A+100*B+10*C+D)*2+5=1000*D+100*C+10*B+A then
writeln(1000*A+100*B+10*C+D)
else;
end.
Получится 1993
Ответ:1993.
6. При каких натуральных n число 6n -5n является точным квадратом?
Решение Юровой Полины:
Распишем
разность степеней по формуле.
62-52=(6-5)(6+5)
63-53=(6-5)(62+5*6+52)
64-54=(6-5)(6+5)(62+52)
В каждой
формуле первый множитель - разница 6 и 5, т.е. 1. Тогда второй множитель должен
сам по себе быть квадратом. Но в 1 случае он равен 11, а во втором 91. В
третьем случае два множителя так же не дадут квадрат.
Если мы
посмотрим на последующие формулы, то увидим, что там перемножаются разница
чисел, а так же суммы чисел, их квадратов, четвертых степеней и т.д. Но эти
суммы не кратны друг другу, и сами по себе не являются квадратами, поэтому
разность степеней 5 и 6 квадратом не будет.
Значит,
единственное значение n - 1, т.к. разница 6 и 5 так же равна 1, а это число
является любой своей степенью.
Ответ:
1.
Решение Борисовой Арины:
Можно
разложить данное выражение по формуле сокращенного умножения:
(an - bn)
= (a - b)(an-1 - an-2 *b + an-3 b2
- ... - a*bn-2 + bn-1)
а = 6, b = 5.
6n - 5n =
(6-5)(6n-1 - 6n-2 *5 + 6n-3 * 52
- ... - 6*5n-2 + 5n-1)
Следовательно,
значение N
здесь одно, как и
точный квадрат выражения.
Ответ: n = 1
Не доведена мысль до конца
РешениеФедорова Дениса:
БИНОМ НЬЮТОНА: an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)
6n-5n=(6-5)(6n-1+6n-25+…+6∙5n-2+5n-1) Квадрат
числа есть только в (6-5)=1.
Ответ: 1.
7. Сколькими способами можно
расставить на окружности 1992
натуральных числа таким образом, чтобы
каждое из них встречалось столько раз, каково следующее за ним по часовой
стрелке?
Решение Усковой Ольги:
Очевидно, что расставить на окружности 1992 различных
числа - невозможно. Тогда рассмотрим такой вариант:
Допустим, что по всей окружности расставлены только 2 числа а и в. Попробуем расставлять на окружности числа а и в, чередуя их. Тогда, получается, что количество чисел а на окружности будет равно количеству чисел в (т.к. 1992-четное число). Получается, что вся окружность будет заполнена одним и тем же числом, повторяющимся 1992 раза. Но нам надо определится одно ли это число или нет. Если мы расставим все единицы, то с самого начала получим противоречие, т.к. после единицы мы ставим единицу, и вновь единицу, и вместо одной у нас будет уже три. Так же будет используя любое число. На каком-то моменте мы уже не будем соответствовать условию. Даже расставляя на окружности 1991, на 1991 месте мы получим то, что надо по условию, но у нас останется пустым 1992 место, на которое мы тоже должны поставить 1991, а если мы это число туда поставим, то уже вновь не будем соответствовать условию. Тогда, выходит, что по всей окружности мы поставим число 1992.
Допустим, что по всей окружности расставлены только 2 числа а и в. Попробуем расставлять на окружности числа а и в, чередуя их. Тогда, получается, что количество чисел а на окружности будет равно количеству чисел в (т.к. 1992-четное число). Получается, что вся окружность будет заполнена одним и тем же числом, повторяющимся 1992 раза. Но нам надо определится одно ли это число или нет. Если мы расставим все единицы, то с самого начала получим противоречие, т.к. после единицы мы ставим единицу, и вновь единицу, и вместо одной у нас будет уже три. Так же будет используя любое число. На каком-то моменте мы уже не будем соответствовать условию. Даже расставляя на окружности 1991, на 1991 месте мы получим то, что надо по условию, но у нас останется пустым 1992 место, на которое мы тоже должны поставить 1991, а если мы это число туда поставим, то уже вновь не будем соответствовать условию. Тогда, выходит, что по всей окружности мы поставим число 1992.
Ответ: 1992
Решение
Юровой Полины:
Во-первых,
в кругу не должно стоять число больше 1992, потому что тогда какое-то число
должно будет стоять больше 1992 раз, а такого быть не может.
Во-вторых,
перед каждым одинаковым числом должны так же стоять одинаковые числа, т.к. они
должны встречаться одно и то же количество раз. Но тогда получается, что каждое
число в кругу повторяется одно и то же количество раз. Но это будет невозможно,
если расставлять несколько разных чисел, потому что по условию какие-то числа
должны будут встречаться меньшее количество раз, а их должно быть одинаковое
количество.
Получается,
что единственный вариант - это когда все числа одинаковые. Тогда, если всего
встречается 1992 числа таких, то каждое число должно быть равно 1992.
8.Можно ли представить число 1992
в виде суммы трёхзначного числа и куба суммы цифр этого числа?
Решение Балаева Антона:
Program Z8;
var
a, b, c: LongInt;
Begin
For a:= 1 to 9 do
For b:= 0 to 9 do
For c:= 0 to 9 do
Begin
If (100*a+10*b+c)+power(a+b+c, 3)= 1992 Then
writeln ('число можно представить:', 100*a+10*b+c);
End;
End.
264 + (2+6+4)3 = 1992
Ответ: да, можно.
Решение Быстрякова
Даниила:
Надо
составить уравнение: 100a+10b+c+(a+b+c)3=1992, 100a+ 10b+c
- это трехзначное число, (a+b+c)3
- куб суммы его цифр. Проверяем кубы двузначных чисел: 103=1000, 113=1331,
123= =1728, 133=2197 => сумма цифр должна быть 11 или
12. Допустим сумма цифр равна 11, тогда 1992-1331=661, но 6+6+1=13 - не
подходит. Пусть сумма цифр равна 12, тогда 1992-1728=264, и 2+6+ +4 = 12 –
подходит => ответ:264.
Решение Юровой Полины:
Чтобы
число было трехзначным, куб должен быть хотя бы больше 992.
9*9*9=729
- это число еще не подходит.
10*10*10=1000,
1992-1000=992, сумма цифр равна 20, а не 10.
11*11*11=1331,
1992-1331=661, сумма цифр - 13.
12*12*12=1728,
1992-1728=264. 2+6+4=12. Это число подходит.
Значит,
264+(2+6+4)3=264+123=264+1728=1992. Такое число
существует.
Ответ:
можно.
9.Найти наибольшее число n, для которого существует двузначное число, равное
произведению своих цифр, увеличенных на n.
Решение Федорова Дениса:
AB=(A+n)(B+n)
Начнём
подбирать с 99. У этого числа А=В, а его множители 9 и 11 => 99 не подходит.
98=2·7·7=2·49=14·7
но ни один из вариантов не подходит т.к. 2<8 и 2<9, 7<9 и 7<8.
97 не
подходит т.к. это простое число
96=2·2·2·2·2·3=2·48=4·24=8·12=16·6=32·3
единственный возможный вариант это 96=12·8 но (9+3)(6+3)=12·9 – не получается,
поэтому 96 не подходит.
95=19·5 но
этот вариант не подходит т.к. 5<9 и 5=5.
94=2·47 но
этот вариант не подходит т.к. 2<9 и 2<4.
93=3·31 но
этот вариант не подходит т.к. 3<9 и 3<3.
92=2·2·23=4·23 но (9+14)(2+14)=23·16 – не подходит.
91=7·13 но
(9+4)(1+4)=13·5 – не подходит.
90=2·5·3·3=2·45=10·9=30·3=15·6
подходит только 15·6
90=15·6=(9+6)(0+6),
n=6
Ответ: 6.
Другое решение:
Составим
программу
Program z9;
var
A,B,n:integer;
Begin
For A:=1 to 9 do
For B:=0 to 9 do
For n:=0 to 9 do
If 10*A+B=(A+n)*(B+n) then
writeln(10*A+b,' ',n)
else;
end.
Получим:
12
2
18
1
24
2
35
2
50
5
56
2
90
6
Наибольшему
числу 90 соответствует n=6.
Ответ: n=6.
Решение Юровой Полины:
Составим
программу. Пусть двузначное число - а. Возьмем значение а от 10 до 99, а
значение n.
Если n
прибавляется к каждой цифре числа, то разница между цифрами числа должна быть
равна разнице между множителей, из которых это число можно получить. Если мы
возьмем n за 10, то 10*10=100 - уже трехзначное число, а к 10 должны будут быть
еще прибавлены цифры. Поэтому возьмем значение n от 1 до 9.
Первую
цифру числа а найдем через целую часть деления его на 10, а вторую цифру - от
остатка деления его на 10. Если число а будет равно произведению его цифр,
увеличенных на n, программа выведет значение n, и значение а - чтобы можно было
это проверить.
Program Z9;
var
a, n: integer;
Begin
For a:=10 to 99 do
For n:=1 to 9 do
If ((a div 10)+n)*((a mod 10)+n)=a then
writeln ('a=', a, ', n=', n)
else;
end.
Получаем ответы, из которых наибольшее n в "a=90, n=6".
Проверим:
(9+6)(0+6)=15*6=90.
Значит,
наибольшее n=6.
Ответ:
6.
10. 106 тонн строительных материалов упаковано в
ящиках; масса каждого не превышает 6 тонн. Грузовой лифт перевозит их на крышу
небоскреба. Если масса груза более 25 тонн, лифт
автоматически отключается. Какое количество
рейсов лифта достаточно для перевозки груза?
Решение Юровой Полины:
Чем
меньше вес груза, упакованного в ящики, тем легче заполнить ими лифт, чтобы вес
всего груза был максимально приближен к 25. Если каждый ящик весит, например, 1
тонну, то можно будет отправлять по 25 таких ящиков. Тогда 106:25=4 (6 ост). Оставшиеся
6 тонн нужно будет отправить еще одним рейсом.
Рассмотрим
случай, когда вес каждого ящика - максимальное число, примерно равное 6. Тогда
6*4=24. 106:24=4 (10 ост). Опять понадобится 5 рейсов.
Теперь
возьмем число, которое меньше 6, но уже немного больше 5, чтобы 5 ящиков в один
лифт нельзя было загрузить - 5,1.
5,1*4=20,4
- столько поместится в один рейс.
20,4*5=102
- это число меньше 106, значит, 5 рейсов в этом случае не хватит. Понадобится 6
рейсов. Значит, весь груз получится перевезти 6 рейсами.
Ответ: 6
рейсов.
Решение Ксенофонтовой Юлии:
В любом рейсе может быть
минимум 19т груза. Значит, наибольшее количество рейсов будет 106:19= около 6.
Предположим, что нам
достаточно всего 5 рейсов.106:25=около 5).Но может быть случай, когда мы
возьмем 21 ящик с одинаковым количеством тонн материала и попробуем перевезти.
Следовательно, в одном из таких рейсов встретится пять ящиков с массой более
чем 25 тонн, а значит количество перевозок будет больше 5(106*5:21=25,2>
25т-а значит еще одна перевозка).
Ответ: 6 рейсов.
Вот и ВСЁ! УРА тем, кто работал!!! Молодцы! Помним, что в начале сентября - ЗАЧЕТ по 50 задачам олимпиады!!! Разбираем!!!