Что такое лето?
Каникулы, веселье.
Море, солнце это,
Парки, карусели.
Рано утром просыпайся
В хорошем настроении,
Тетрадки открывай и- задачки решай!
А мы подводим итоги второго этапа олимпиады "Надежда ЛИСы"!
В этом месяце решения задач прислали все, кроме Афиногеновой Анастасии. Сразу хочется сказать, что есть очень хорошие решения! Максимальный балл в оценке решения одной задачи- 10 баллов! Итак,
1 задача. Угол между минутной стрелкой и отметкой "12" на циферблате равен 90 градусов, а угол между часовой стрелкой и отметкой "12" равен четверти от угла между "11" и "12", т.е. равен 1/4 от 360/12= 7 градусов 30 минут. 90 градусов - 7 градусов 30 минут= 82 градуса 30 минут. За 82,5 градуса снижен балл с 10 до 9. Всё-таки мы изучили, что 1 градус=60 минут.
2 задача. За четыре недели с 1 по 28-е число каждый день недели встречается ровно по 4 раза, поэтому из условия следует, что 29-е-воскресенье, 30-е-понедельник,31-го числа в месяце нет. Следовательно, месяц , о котором идет речь в задаче, начался с воскресенья, а пятое число было четвергом. Данный месяц декабрем быть не мог.
3 задача. Пусть в вершинах стоят числа а, в, с. Тогда сумма чисел, стоящих на трех сторонах треугольника, равна 60, а с другой стороны, она равна (а+в+с)+(1+2+...+9). Следовательно, а+в+с =15. Поскольку порядок вершин нас не интересует, то возникают следующие возможности для цифр а, в, с, которые мы для краткости будем обозначать трехзначными числами : 159, 168, 249, 258, 267,348,357, 456.
Нетрудно привести примеры расстановок, где в вершинах стоят цифры 1,5,9; 2,5,8; 3,5,7;4,5,6, а остальные варианты невозможны. Действительно, пусть, например, в вершинах стоят цифры 2,4,9. Тогда сумма чисел, стоящих между 2 и 4 , равна 14, что возможно, только если они равны 6 и 8, но тогда сумма чисел на других сторонах нечетна, что противоречит условию. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Максимальное количество баллов не выставлялось, если не рассматривались все варианты трехзначных чисел, а затем должны быть объяснения. почему исключены некоторые.
4 задача. Решение Плужникова Арсения:
На "кляп" подписано x чел, на "квант"
кратное ему количество, a*x.
На "ровесник" подписано в
5 раз больше, чем на "кляп", то есть 5x.
Всего: x + ax + 5x = x(a + 6) < 30
Если подписчиков на "квант"
станет 4ax, то 4ax = 5x + 21
x*(4a - 5) = 21 = 1*21 = 3*7
1) x = 1, 4a - 5 = 21, 4a = 26, a
- не целое
2) x = 3, 4a - 5 = 7, 4a = 12, a = 3 На "кляп" подписано 3
человека, на "квант" 3*3 = 9 человек,
на "Ровесник" 5*3 = 15
человек. Всего 3 + 9 + 15 = 27 < 30.
Ответ: "квант" выписывают
9 человек.
5 задача. Обозначая через α , β , ɣ величины углов треугольника, получаем для величины α ( аналогично для β и ɣ)
α=180˚ -(β + ɣ) < 180˚ - (59˚ +59˚ ) =62˚ .
6 задача. Для числа п страниц в одном томе имеем
39390= (1+п)+((п+1)+2п)+...+((12п+1)+13п)=(1+13п)+((п+1)+12п)+...+((12п+1)+п)=13(13п+1). Ответ 233.
7 задача. Из условий задачи вытекает , что возможны лишь два варианта распределения оценок: А-3,5, В-3,4, С-4,4 или А-3,4, В-4,4, С-3,5, которые однозначно распознаются по любой из оценок С. (но не А, и не В.). Значит, учитель задал вопрос Семенову. Если он назвал оценку 4, то Андреев получил 3,5, Васильев -3,4, а Семенов-4,4. Если же он назвал 3 или 5, то Андреев получил 3,4, Васильев -4,4, Семенов-3,5.
8 задача Если число ху с черточкой удовлетвряет условию задачи, то 10х+у делится на ху, откуда у делится на х, а 10х делится на у. Если у=ах, то 10х делится на ах, так что 10 делится на а, и следовательно, а принадлежит числам 1, 2, 5.
При а =1 получаем, что х=у. Но 11х делится на х только при х=1, т.е. ху с черточкой =11. При а =2 у=2х и легко проверить, что условию задачи удовлетворяют числа 12,24,30. Наконец, при а=5, получаем еще одно решение задачи - число 15. таким образом, условию удовлетворяют числа 11,12,24,36,15. Запись только чисел без объяснений оценивалась в 1 балл.
9 задача. Так как тремя разными монетами нельзя уплатить 170 копеек и цена альбома делится на 59, то альбом стоит либо 59, либо 118 копеек. В первом случае ученик заплатил бы всего 60 копеек, но этого нельзя сделать тремя разными монетами, и поэтому альбом стоит 1 рубль 18 копеек.
10 задача. Если в футбольном турнире приняли участие к команд, то вместе они набрали к(к-1) очков, и поэтому остальные к-1 команд набрали к(к-1) -4 очков. Поскольку все они набрали очков поровну, то 4 делится на к-1 так, что к=5 или к-3. Но при к=5 остальные команды также набрали бы по 4 очка. Следовательно, к=3, к-1=2 и эти команды сыграли между собой вничью.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
итого
|
|
Иванова Анастасия
|
9
|
10
|
6
|
10
|
10
|
10
|
10
|
10
|
9
|
10
|
94
|
|
Ровнягина Марина
|
9
|
10
|
10
|
10
|
10
|
10
|
5
|
10
|
8
|
10
|
92
|
|
Попов Ярослав
|
9
|
10
|
9
|
10
|
10
|
10
|
10
|
10
|
1
|
5
|
84
|
|
Инфантьев Арсений
|
9
|
10
|
2
|
10
|
10
|
10
|
10
|
10
|
1
|
10
|
82
|
|
Цендровский Артём
|
9
|
10
|
5
|
10
|
10
|
10
|
5
|
10
|
1
|
10
|
80
|
|
Квашёнкин Никита
|
0
|
10
|
1
|
10
|
9
|
10
|
10
|
9
|
10
|
10
|
79
|
|
Павловская Кира
|
9
|
10
|
5
|
10
|
9
|
10
|
10
|
10
|
0
|
5
|
78
|
|
Чикун Денис
|
9
|
10
|
5
|
10
|
10
|
10
|
10
|
|
1
|
10
|
75
|
|
Орлов Даниил
|
9
|
10
|
5
|
10
|
9
|
|
10
|
10
|
1
|
10
|
74
|
|
Кулоразов Артём
|
9
|
10
|
10
|
10
|
1
|
10
|
10
|
0
|
|
10
|
70
|
|
Васильченко Максим
|
9
|
10
|
5
|
10
|
1
|
10
|
8
|
8
|
8
|
|
69
|
|
Комкова Виктория
|
9
|
10
|
5
|
10
|
9
|
10
|
5
|
9
|
1
|
0
|
68
|
|
Бережной Иван
|
9
|
10
|
0
|
10
|
2
|
10
|
10
|
5
|
|
10
|
66
|
|
Иванов Алексей
|
9
|
10
|
6
|
10
|
9
|
0
|
1
|
10
|
0
|
10
|
65
|
|
Лашманова Полина
|
9
|
10
|
3
|
9
|
5
|
10
|
10
|
5
|
1
|
|
62
|
|
Соловьева Екатерина
|
9
|
10
|
1
|
10
|
10
|
0
|
|
10
|
|
10
|
60
|
|
Круковский Ярослав
|
9
|
10
|
3
|
10
|
8
|
0
|
10
|
9
|
0
|
0
|
59
|
|
Анисимов Александр
|
9
|
5
|
1
|
1
|
9
|
10
|
10
|
2
|
0
|
10
|
57
|
|
Алексеев Николай
|
0
|
10
|
2
|
8
|
10
|
5
|
3
|
5
|
0
|
9
|
52
|
|
Семыкин Артём
|
9
|
10
|
1
|
2
|
2
|
10
|
5
|
2
|
1
|
10
|
52
|
|
Дудкин Кирилл
|
9
|
10
|
1
|
10
|
9
|
|
|
2
|
|
10
|
51
|
|
Ковалева Юлиана
|
9
|
10
|
1
|
10
|
4
|
0
|
1
|
5
|
0
|
10
|
50
|
|
Троицкая Варвара
|
9
|
10
|
10
|
10
|
1
|
0
|
9
|
|
0
|
|
49
|
|
Андреева Дарья
|
0
|
10
|
2
|
10
|
2
|
0
|
10
|
2
|
0
|
10
|
46
|
|
Плужников Арсений
|
9
|
10
|
1
|
10
|
9
|
1
|
1
|
2
|
1
|
0
|
44
|
|
Шерипова Елизавета
|
0
|
10
|
4
|
10
|
1
|
0
|
10
|
9
|
0
|
0
|
44
|
|
Батыгина Дарья
|
0
|
10
|
1
|
3
|
9
|
0
|
10
|
5
|
|
|
38
|
|
Сивкова Нелли
|
0
|
10
|
0
|
10
|
2
|
0
|
10
|
5
|
0
|
1
|
38
|
|
Соломатова Виктория
|
9
|
10
|
1
|
10
|
|
|
5
|
2
|
|
|
37
|
|
Аникин Даниил
|
9
|
10
|
4
|
10
|
0
|
0
|
0
|
2
|
0
|
|
35
|
|
Свиридова Анна
|
0
|
5
|
1
|
10
|
6
|
0
|
5
|
2
|
0
|
|
29
|
|
Павлов Александр
|
9
|
10
|
0
|
1
|
2
|
0
|
1
|
2
|
|
0
|
25
|
|
Березкин Илья
|
0
|
10
|
1
|
2
|
|
0
|
10
|
0
|
|
|
23
|
|
Комин Герман
|
0
|
3
|
1
|
|
9
|
|
|
5
|
1
|
0
|
19
|
|
Афиногенова Анастас
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ну что ж, продолжаем... Ваша, ЛИСа
