1.Навстречу
друг другу по двум параллельным путям едут два поезда с различными скоростями,
каждый равномерно. Длина первого поезда
130, 75 м, длина второго поезда
117,75 м. Промежуток времени, в течение которого оба поезда шли при встрече
один мимо другого, был равен 3 7/45сек. Если бы поезда шли в одну сторону и если бы первый поезд
нагнал второй, то они шли бы один возле другого 28,4 сек. Какова скорость
каждого?
Решение
Иванова Е.:
(130,75+117,75):3 7/45=78,75(м/с)-скорость сближения
двух поездов.
130,75+117,75=248,5 (м) – длина двух поездов.
78,75∙28,4=2236,5 (м) – прошли два поезда за 28.4
сек.
(2236,5-248,5)/2=994(м) - прошел второй поезд.
2236,5-994=1242,5(м)- прошел первый поезд.
994/28,4=35 (м/с) – скорость второго поезда.
1242,5/28,4=43,75(м/с) – скорость первого поезда.
2.Доказать, что два последовательных нечетных
числа- числа взаимно простые.
Решение
Федорова Д.:
Пусть
есть два числа 2n+1
и 2n-1,
т.к. они взаимно простые, их НОД должен быть равен 1. Предположим, что у них есть общий делитель d, тогда 2n+1 / d и 2n-1/d, отнимем из первого второе,
получим 2/d.
Это значит, что у чисел может быть общий множитель 2, но по условию они
нечетные и на 2 делиться не могут. Следовательно: их НОД (2n+1; 2n-1)=1.
3. Найти 999-значное число n, запись которого не содержит цифры
0,равное сумме двух слагаемых, каждое из которых получается перестановкой цифр
числа n.
Решение Ксенофонтовой Ю.:
Искомое N число
–954954……..954 (999-значное)
Рассуждение:
Найдем такие три числа , так чтобы и первое, и второе, и их сумма (третье число) состояли из
одинаковых цифр. Это будет числа : 459,
495, 954. (459+495=954).
Тогда найдем N число, оно будет состоять из чисел 954
в количестве 333 штук.
N=954954.....954(слагаемые будут 459...459
и 495....495.)
Решение: Достаточно привести трёхзначное
число, обладающее этим свойством, и написать его подряд 333 раза. Примером
такого числа является 954=459+495.
4. Может ли
число вида 1990n
содержать
поровну цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ?
Решение: Если запись числа содержит поровну всех
цифр от 1 до 9, то оно делится на сумму этих цифр, т.е. на 45. Однако число
1990, а следовательно и 1990n
не делится на 3, и поэтому ответ на
вопрос задачи- отрицательный.
5. Мяч плотно
обтянут веревочной сеткой, в которой из каждого узелка выходит три веревки.
Может ли сетка содержать ровно 1991 узелок?
Решение: Если сетка содержит n
узелков,
то общее число звеньев сетки, поскольку каждое звено соединяет два узелка,
равно (n·3)/2,
так что n
чётно. Поэтому сетка не может содержать 1991 узелок.
Решение
Федорова Д.:
Пусть
веревочная сетка это замкнутый граф, тогда 1991 узелок это 1991 вершина, а три
верёвки это три ребра графа. Для
подсчета количества ребер в этом графе сначала сложим степени всех его вершин.
При этом каждое ребро учтено дважды, ведь оно соединяет две вершины. Поэтому число
ребер графа должно быть равно 1991∙3/2, но это число нецелое. Значит, такого
графа не существует.
6.Сколько существует троек неотрицательных чисел, у которых сумма
кубов на 12 меньше квадрата суммы?
Решение:
Условие задачи может быть сформулировано в виде «Рtшить в неотрицательных числах
уравнение х3+у3 +z3 =(х+у+z)2 -12 ». Будем считать х ≤ у ≤ z. Имеем:
х3+у3
+z3
-(х+у+z)2 = х3+у3 +z3
–х2-у2 -z2-2(ху+уz+xz)=
=х3+у3
+z3-3x3-3y3-3z3+(x-y)2 +(y-z)2+(z-y)2=
=x2(x-3)+y2(y-3)+z2 (z-3)
+(x-y)2 +(y-z)2+(z-y)2.
Если
х>2, то все слагаемые неотрицательны, так что сумма не равна 12.
Следовательно, х равен 1 или 2, а
первое слагаемое -2 или -4. Если при этом у >3, то второе слагаемое н меньше
16, так что сумма первых слагаемых положительна и вся сумма так же
положительна. Следовательно, у равен 1,2 или 3, второе слагаемое
равно -2,-4 или 0. Поэтому сумма первых
двух слагаемых не меньше -8, а тогда при
z
>3
получаем, что сумма первых трёх слагаемых положительна, так что z не
больше трёх, а третье слагаемое -2,-4 или 0. Следовательно, сумма первых трёх
слагаемых не меньше -12 и равна -12 в том случае, когда все три слагаемых равны
-4, т.е. при x=у=z=2. Это и есть единственный набор переменных, удовлетворяющий условию
задачи.
Познакомившись
в 7 классе с формулами сокращенного умножения, можно было попробовать применить
их. К сожалению, эта задача имеет меньше всего решений. Видимо, интернету было неподвластно…
7.Может ли число, оканчивающееся
на 1996, делиться на 1997?
Пусть
произведение числа 1997 на некоторое многозначное число оканчивается на 1996. Произведение числа 1997 на
некоторое однозначное число оканчивается
цифрой 6только в случае, когда последняя цифра множителя 8, так что «первое» произведение есть 15976. Тогда
последняя цифра «второго» произведения
есть 9-7=2. Поэтому «второе» произведение есть 11982, и для
получения цифры 9 в разряде сотен
произведения «третье» произведение должно оканчиваться цифрой 2. Как и раньше,
мы получаем, что множитель в разряде сотен имеет цифру 2, так что «третье»
произведение также есть 11982. Рассуждая
аналогично, получаем что «четвертое» произведение оканчивается на 8, цифра
тысяч в множителе равна 4 и «четвертое» произведение равно 7988. На этом поис
можно закончить, поскольку 1997·4668=9321996.
Интересное
решение Юровой Полины:
1. Решим задачу подбором. 1997 нужно умножить на
какое-то число n, чтобы на конце числа получилось 1996. Чтобы на конце
получилось 6, нужно умножить 7 на 8. 1997·8=15976 По правилам умножения столбиком, после
умножения на разряд единиц, дальше к этому разряду цифры не прибавляются. Чтобы
из цифры 7 получилось 9, нужно прибавить к ней 2. Значит, теперь, чтобы
получить 2, нужно умножить 1997 на 6. 1997·6=11982 - умножаем число на 10, т.к.
его получили умножив на цифру 2 разряда.
119820+15976=135796 Теперь надо опять прибавить к семи - 2. Для этого снова
умножаем 1997 на 6. 1997·6=11982 -
умножаем число на 100, т.к. его получили умножив на цифру 3 разряда. 1198200+135796=
1333996 Чтобы получить из трех 1, нужно прибавить 8. Для этого нужно умножить 7
на 4. Получилось, что 1997·4668=9321996 Значит,
такое число существует. Ответ: может.
2. Эту задачу можно решить с помощью информатики.
Program
Z7;
var
n: integer;
Begin
n:=1997;
repeat
n:=n+1997;
If (n mod 10000 = 1996) and (n mod 1997 = 0) then writeln (n)
else;
until n=100000000;
end.
Значит, можно найти еще довольно много чисел, делящихся на
1997, например:
9321996
29291996
49261996
69231996
89201996
109171996
129141996
Вот
это называется «ДУМАТЬ!» Молодец, Полина!
8.
Сколько цифр содержит число 111…11, если известно, что оно делится на 41?
Решение:
Деля число 111… « уголком» видим, что
первый нулевой остаток получится для
числа из 5 цифр, а в дальнейшем
остатки будут повторяться . Поэтому
число 111…11 делится на 41 в том случае, если число его цифр кратно 5.
Решение
Юровой П.:
1. Число 111 делится на 3 и 37.
Число 1111 делится на 11 и 101.
Число 11111 делится на 41. Но если число из 5 цифр
делится на 41, то если это число повторить еще 1 раз, то оно тоже будет
делиться, т.к. оно получится сложением 1111100000 и 11111, т.е. этим числом и
им же, умноженным на 100000. Значит, сумма единиц должна быть кратна 5.
Ответ: количество цифр должно быть кратно 5.
2. Эту же задачу можно решить с помощью информатики.
Обозначим число 11...11 за n, а количество его цифр
за s. Заметим, что каждое число из ряда 11, 111, 1111... получается, если
предыдущее число умножить на 10 и прибавить к нему 1. Значит, из этого можно сделать цикл. Возьмем
начальное число n за 11. Количество знаков в этом числе - 2, значит, начальное
значение s равно 2.
С каждым шагом число n будет равно 10*n+1 от
предыдущего, а s будет на 1 больше предыдущего. Добавим операцию, которая будет
проверять делимость числа n на 41 и выводить в этом случае s - количество его
цифр. Чтобы цикл закончился, можно поставить условие, например, когда s=1000,
т.к. до этого значения s, наверняка будет хотя бы одно n делиться на 41.
Program
z8;
var
n, s: integer;
Begin
n:= 11;
s:= 2;
repeat
n:= 10*n + 1;
s:= s + 1;
If n mod 41 = 0 then writeln (s)
else;
until s=1000;
end.
В результате, количество цифр получилось равно 5 и
10. Но программа на компьютере не выполняет действия с более чем 10-значными
числами. А делиться на 41 будет любое число вида 11...11, количество цифр
которого кратно 5, что я доказала в первом варианте решения.
Вот
так! За интересное решение задач 7 и 8
Юровой Полине присуждается дополнительно 10 баллов!
9.
Сколько всего диагоналей можно провести в многоугольнике, имеющем 103 стороны.
Ответ объясните.
Решение. С этой задачей справились практически все.
Формула n
·(n-3)/2. Ответ 5150 диагоналей.
10.Можно
ли заменить в равенстве ДРА+КОН+ЗМЕЯ=1989+1990+1991 различные буквы различными цифрами так, чтобы
получилось верное числовое равенство?
Решение. Из доказательства признака делимости на 9
следует, что разность между числом и суммой его цифр делится на 9 и следовательно, разность между левой частью
данного равенства и суммой Д+Р+А+…+Е+Я=1+2+…+9=45 делится на 9, тогда как правая часть на 9 не
делится, так что ответ на вопрос задачи отрицательный.
Решение Юровой П. 1989+1990+1991=5970
В равенстве 10 разных букв, значит, каждая из 10
цифр будет встречаться по одному разу.
Найдем сумму цифр в каждом случае:
5+9+7+0=21
0+1+2...+9=45
21 не равно 45.
Рассмотрим так же случаи, когда мы переносим
десяток. В таком случае, из одного разряда мы забираем 10, а в следующий
прибавляем 1. Получается -9.
45-9=36
36-9=27
27-9=18
18 уже меньше 21, значит, буквы нельзя заменить
цифрами.
Ответ: нельзя.
Решение
Федорова Д.: подбирая различные варианты получения числа 5970, не удалось
получить искомое число.
481+769+5320=6570
129+736+4805=5670
628+937+4105=5670
218+847+3605=4670
491+273+5806=6570
Возможно
дать такое объяснение: сумма цифр числа 5970 равна 21 и делится на 3,поэтому
сумма остатков искомых чисел ДРА+КОН+ЗМЕЯ должна делится на 3 (по признаку
Паскаля) или каждое число должно полностью делится на 3. А таких чисел, которые
дают в сумме 5970 не получилось.
Ответ:
нет.
Интересное решение этой задачи у Коротковой Е.,Фоменко Е., Шелудченко А., Балаева
А. , но их формат не используется.
Ответы
типа «нет», «не может», конечно, оцениваются 0 баллами.
Посмотрите
решения и проверьте ошибки за мной. Некоторые я уже нашла, исправила. Жду
решений!
Комментариев нет:
Отправить комментарий