Решение задач третьего тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

       1.Можно ли  все двузначные  числа  от 32 до 86 включительно выписать в некотором порядке одно за другим, чтобы получилось простое число?

      Решение Федорова Д. : Я сложил все цифры от 32 до 86, получилось 500, сумма  цифр этого числа 5 и не делится на 3 и на 9. Значит, простое число написать можно, при этом простое число не должно оканчиваться на четную цифру, на ноль и на 5. Чтобы проверить делится ли число на 11, надо разбивать число на пары и нахождением суммы чисел этих пар. Предполагаемое простое число состоит из пар, т.е. из двузначных чисел от 32 до 86. При нахождении суммы всех чисел, каждая пара составляет 32+86=118, 33+85=118 и т.д. таких пар 27, 118∙27=3186 и еще одно число 59, итого 3245, из этого следует 45+32=77, т.е. все число будет делиться на 11. Можно по формуле (32+86)∙55/2=3245, где 55 – количество слагаемых, а значит, число делится на 11.                                                          Ответ: нельзя.

      Решение Усковой О.: Для решения этой задачи стоит рассмотреть признаки делимости чисел, чтобы определить делится ли полученное число на что либо. Сейчас я попробую рассмотреть три случая - это признаки делимости на 3, 9 и 11 (именно на эти числа т.к. их признаки непосредственно связанны с суммой чисел числа).                                                                 Случай делимости на 3 и на 9.   Если сумма цифр(из которых состоит число) делится на 3 или 9,то и само число делится на 3 или 9.
Сумма равна 32+33+34+35+…+81+82=3245. Это число нацело не делится не на 3 ни на 9.
Теперь рассмотрим вариант с деление на 11.    

      Признак делимости на 11. Если сумма, составленная при разбиении числа справа налево на группы по две цифры, делится на 11, то и число делится на 11.                                                          Т.е. Сумма равна 3245. Следовательно, 32+45=77.                                                     

         77 делится на 11. Тогда и число, состоящее из чисел, от 32 до 86 делится на 11.
Ответ: нет, нельзя.

    2 .В международном футбольном турнире, где каждый участник встречается с каждым по разу, команда «Ротор» набрала больше всех очков-4, а остальные команды набрали одинаковое количество очков. Как сыграли остальные команды?

        Решение: Если в футбольном турнире приняли участие   команд, то вместе они набрали                     n (n-1)очков, и поэтому  остальные  n-1  команд набрали n (n-1)-4 очков. Поскольку все они набрали очков поровну, то 4 делится на n-1 , так что n=5 или n=3. Но при n=5 остальные команды также  набрали бы по 4 очка. Следовательно, n=3, n-1=2 и эти команды сыграли между собой вничью.

          3.Можно ли на окружности расставить числа от 1 до 1991 так, чтобы среди любых из десяти подряд стоящих чисел по крайней мере два делились на 7?

     Решение: Если число 1991 число на окружности  расставлено требуемым образом, то, разбив их на 181 группу по 11 стоящих подряд чисел, в каждой из групп будем иметь по крайней мере два числа, делящихся на 7. Поэтому среди расставленных чисел по крайней мере 362 делится на 7. Однако из чисел от 1 до 1991 только 284 числа делятся на 7, и поэтому такая расстановка чисел невозможна.

         Решение Юровой П.:

        Сначала посмотрим, как нужно расставлять по кругу цифры на примере 7 (делящихся на 7) и n (не делящихся на 7). Возьмем число 7 и начнем ставить по краям от него n, пока количество всех чисел не станет равно 9. После этого уже нельзя ставить больше n, т.к. тогда на 10 неделящихся на 7 чисел получится только одно делящееся. После того, как мы поставили 7 с каждого края, нужно продолжить то же самое от каждой новой семерки, т.е. приписать с пустого края от нее столько n, сколько осталось до 9.  Количество n с разных сторон может быть любое – как nnnn7nnnn, так и nnn7nnnnn и так далее. Просто получается, что количество n каждый раз повторяется.

            Число 1991 не делится на 10. Значит, останется поставить еще одно n. Но в таком случае оно нарушит порядок среди каких-то из чисел. Значит, вместо этого n можно поставить только еще одну 7. Получается, что из 1991 числа должно быть 1990:5+1=399 чисел, делящихся на 7 и 1592 чисел, которые не делятся на 7.

       Число 1991 не делится на 7. Ближайшее число, которое делится на 7 перед ним – 1988. 1988:7=284. Значит, из 1991 числа 284 делятся на 7. 284<399, значит, чисел кратных 7 просто не хватит. Значит, так расставить числа нельзя.

      Решение Федорова Д : Числа, делящиеся на 7 должны стоять в каждой десятке на девятом и десятом местах. Например, 1,2,3,4,5,6,8,7,14,9,10,11,13,11,15,16,17,21,28 и т.д.  разделим 1991/7=284 ост. 3, тогда будет 284 числа, делящихся на 7. Если мы разделим 284/2, получится 142 десятки, в которых будет по 2 числа, делящихся на 7. А всего десяток по условию 1991/10=199 десяток. Отсюда 199-142=57 будет десяток без чисел, делящихся на 7. Значит десяток с двумя числами, делящихся на 7 не хватит.

      Ответ: нельзя расставить так числа.

          4.Сколько точных квадратов можно составить  из цифр 3,4,5,6, употребляя  каждую только один раз?

                Многие  посчитали, что можно брать 1,2, 3 цифры, а надо все четыре.

           Решение: Точный квадрат числа не может заканчиваться на цифру 3, а в данном случае не может заканчиваться и цифрой 5- в противном случае его предпоследняя цифра была бы 2, а этой цифры в числе нет. Следовательно, этот квадрат оканчивается цифрой 4 или 6 и поэтому является четным числом. Поэтому и число, которое возвели в квадрат, является четным, а стало быть его квадрат делится на 4. Значит, две последние цифры точного квадрата составляют число, делящееся на 4, т.е. 36, 56 или 64. Остается рассмотреть числа 4536,5436,3456,4356,3564,5364. Для их проверки заметим, что все они делятся на 4 и на 9, поэтому разделив на 36, получим числа 126,151,96,121,99,153. Из этих чисел точным квадратом является только 4356=36·121=66².  Ответ 4356.

               Решение Балаева А.: Составив программу, я нашел все возможные числа.

               Program z4;   var

               a, b, c, d, n:integer;

            Begin

              n  := 0;

               for a := 3 to 6 do

              for b := 3 to 6 do

              for c := 3 to 6 do

              for d := 3 to 6 do begin

 i            f (a <> b) and (a <> c) and (a <> d) and (b <> c) and                            (b <> d) and (c <> d) then begin

                WriteLn(a, b, c, d);

                 n := n + 1;

               end;

                   end;

                   WriteLn('Количество чисел: ', n);

                    End.

                     Их 24.

3                456    4356    5346    6345

3                465    4365    5364    6354

3                546    4536    5436    6435

3                 564    4563    5463    6453

3                 645    4635    5634    6534

3                 654    4653    5643    6543

                  Квадраты чисел оканчиваются на 1, 4, 9, 6, 5, 0.

                   Значит, из этих чисел вычеркиваем числа оканчивающиеся на 3. Остаётся 18 чисел.            

3                   456    4356    5346    6345

3                    465    4365    5364    6354

3                    546    4536    5436    6435

3                    564    4635    5634    6534  

3               645   

3                 654               

√                 4356 = 66

             Ответ: 4356.

        5.Можно ли множество натуральных чисел от 1 до 1986 разбить на несколько групп, в каждой из которых сумма наименьшего и наибольшего из чисел равна сумме остальных?

Решение: Предположим, что требуемое разбиение возможно, и пусть  а и в  соответственно наибольшее и наименьшее числа одной из групп. Тогда сумма всех чисел такой группы равна 2·(а+в) -  четное число, а значит, и сумма чисел всех групп четна. Но эта сумма равна 1+2+…+1986= 993·1987, число нечетное, следовательно, сделанное в начале предположение ложно, и требуемого разбиения не существует.

Решение Федорова Д.: Решение: поскольку сумма наименьшего и наибольшего из чисел равна сумме остальных, то это должно быть четное число в каждой группе. Поэтому общая сумма чисел должна быть четной, а у нас сумма цифр (1+1986)*1986/2=1973091 – нечетное, противоречие.

Ответ: нет.

Решение Юровой П.: Найдем сумму всех чисел от 1 до 1986. 1+1986=1987 – нечетное число. Всего таких пар – 1986:2=993 – тоже нечетное число. Если перемножить 2 нечетных числа, получится так же нечетное число.  Пусть в одной группе чисел сумма наибольшего и наименьшего – а, тогда сумма остальных так же а, и сумма всех – 2а. 2а – четное число. Тогда для того, чтобы это условие было выполнено, нужно, чтобы сумма всех чисел так же была числом четным, а это невозможно, т.к. если разделить получившееся произведение (1987*993) на части, то хотя бы одно число будет нечетным.

Ответ: нельзя.

6.Найти двузначное число, которое на 6 меньше квадрата суммы своих цифр.

Решение Федорова Д.:

Решение: Условие задачи можно записать так (А+В)2=6+АВ, (А+В)2 это квадрат, следовательно, он должен оканчиваться на чётное кол-во нулей, 25, 6, 4, 1 или 9. Подбираем – если квадрат оканчивается на 25, + А В 6 2 5  А=1 В=9 проверяем (1+9)2=19+6 100≠25 Если квадрат оканчивается на 6, + А В 6 3 6  то В=0 А=3 проверяем (3+0)2=30+6         9≠36 Если квадрат оканчивается на 4, + А В 6 6 4 то А=5 В=8 проверяем (5+8)2=58+6 169≠64 + А В 6 8 1 Если квадрат  оканчивается на 1,

то А=7  В=5 проверяем (7+5)2=75+6 144≠81 Если квадрат  оканчивается на 9, + А В 6 4 9  то А=4     В=3 проверяем (4+3)2=43+6 49=49 Ответ: 43

7.Произведение  числа на его обращенное равно 692443. Найдите это число. Определение обращенного числа найдите сами.

        Решение Федорова Д:

                   Решение: чтобы получить шестизначное число искомые числа должны быть трехзначные.                    

               Представим: только  произведение 9*7 дает 3 на конце

		х	А С	В В	С А
					3
6	9	2	4	4	3

		х	9 7	В В	7 9
		8	4	3	3
	2	8	1	1
6	5	5	9
6	9	2	4	4	3

В находим подбором

		х	9 7	3 3	7 9
		8	4	3	3
	2	8	1	1
6	5	5	9
6	9	2	4	4	3

Ответ: 739

Решение Балаева А.

Обращенное число - это по отношению к данному, многозначному числу, значность которого не меньше двух, есть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Запишем искомое число как xyz.

       xyz

  ×

       zyx

692443

3 можно получить только двумя способами:

1) 7 ∙ 9 = 63

2) 3 ∙ 1 = 3

Т.е. первый вариант:

       7y9

  × 

       9y7

 692443

 У  y  в уме еще 6. Для нахождения у, можно составить уравнение:

7у + 6 = 9у

2у = 6

у = 3

Получается:

739 ∙ 937 = 692443

Вариант подходит

Второй вариант:

        1y3

 ×

        3y1

  692443

Вариант не подходит

Так же условие можно записать так:

(100 ∙ x + 10 ∙ y + z) ∙ (100 ∙ z + 10 ∙ y + x) = 692443.

Составив программу:

Program Z7;

var

 x, y, z: integer;

Begin

For x:=1 to 9 do

For y:=1 to 9 do

For z:=1 to 9 do

begin

if (100*x + 10*y + z)*(100*z + 10*y + x) = 692443 then

writeln ('Значение x = ',x, ', ','Значение y = ', y, ', ','Значение z = ', z);

end;

End.

 Узнаем значение x = 7, y = 3, z = 9.

Ответ: 739.

8.В классе выписывают три журнала, причем общее количество выписываемых экземпляров меньше 30. Число подписчиков на «Квант» кратно числу подписчиков на «Кляпа», которых в свою очередь  в  5 раз меньше,  чем подписчиков на журнал «Ровесник». Если число выписываемых «Квант» увеличится в 4 раза, то их станет на 21 больше, чем количество выписываемых «Ровесник». Сколько учеников выписывают «Квант»?

Решение Ксенофонтовой Ю.:

Допустим , что на Кляп подписано – A человек. На Квант  тогда A*x(т.к. кратно числу подписчиков на Кляпа).Следовательно, на Ровесник подписано 5A.

Составим и решим уравнение:

A+A*x+5A= менее 30.

Когда увеличим подписчиков на Квант получим :

4(A*x)=21+5A

A(4x-5)=21=3*7

A=3

4x-5=21

X=2.( есть и другие варианты A, но при их значении либо x- не полное число, либо количество подписок более 30)

Получается, что на Кляп подписано 3 человека, на Квант -9, на Ровесник -15.

Ответ: на Квант – 9 учеников

Решение Недосеко Е. : Обращенное число- это число записанное в обратном порядке.

Произведение 692443 шестизначное, значит само число должно быть трехзначным.

Например, 100a+10b+c     в обращенном варианте: 100c+10b+a

А нам нужно число:

(100a+10b+c)*(100c+10b+a)=10000*ac+1000*(bc+ab)+100*(a²+b²+c²)+10*(bc+ab)+ac=692443

Значит, что произведение ac-двузначное, возможно начинается на 6 и оканчивается на 3, то есть 63=7*9. Получаем a=7 и c=9, тогда:

(709+10b)(907+10b)=709*907+7090b+9070b+100b²=643063+16160b+100b²=692443

100b²+16160b=49380

Делим последнее на 20

5b²+808b=2469=808*3+45

Получается b=3

Ответ: 739 или 937.

9.Заменить буквы цифрами так, чтобы равенство БАРС=(Б+А+С)⁴   оказалось верным?

Решение Балаева А.: Можно составить программу, где Б = b,  А = a,  Р = r и С = s.

Program Z9;

var

   b, a, r, s:integer;

Begin

 For b:= 1 to 9 do

   For a:= 0 to 9 do

     For r:= 0 to 9 do

       For s:= 0 to 9 do

       Begin

       If (1000*b + 100*a + 10*r + s) = power (b + a + s, 4)then

       writeln ('Б = ', b, ', ','А = ', a, ', ', 'Р = ', r, ', ', 'C = ', s);

       End;

End.

Таким образом Б = 2,  А = 4,  Р = 0 и С = 1.

Ответ: БАРС = (Б+А+С)⁴

            2401  =  (2+4+1)⁴

Решение Федорова Д.: Решение: Т.К. число БАРС четырехзначное, то 1000 < БАРС<10000, поэтому (Б+А+С)⁴ <10000

(Б+А+С)⁴ <

                Б+А+С<10, тогда могут быть варианты:

                 6⁴=1296 и 1296≠(1+2+6)⁴

                7⁴=2401=(2+4+1)⁴

                 8 ⁴=4096≠(4+0+6)⁴

                   9⁴=6561 не подходит т.к. цифры повторяются.

            Ответ: 2401=(2+4+1)⁴

10.Существует ли число вида 3ⁿ+1 (n принадлежит N) , делящееся на 10¹⁰⁰?

Решение Рязановой Э.: . Допустим такое число существует. По условию оно делится на  ,10^100, а значит делится  на 10. По условию число   3ⁿ должно  кончаться цифрой 9.
Последние цифры числа  3ⁿ чередуются по  правилу: 3,9,7,1,3,9,7,1...
Числа  с цифрой  9  в конце  происходят  при n=4Х-2, Х-любое натуральное число
То  есть  число  3ⁿ+1 при  делении  на  4 дает  остаток  2. Но  т.к по  идее такое число  делиться  на 10^100  , то должно  делиться на  4 без остатка. Выходит,  мы пришли к противоречию. То  есть  такого  числа  не существует.

Решение Федорова Д.: Предположим, что существует такое число, и оно должно делиться на 10¹⁰⁰ и на 10. Значит, число 3ⁿ  должно оканчиваться цифрой 9, прибавим 1 и оно поделится на 10. Степень числа 3 должна быть такой, чтобы результат оканчивался на 9. Видим закономерность 3¹=3, 3²=9, 3³   - оканчивается на 7 и  3⁴ – оканчивается на 1 и  далее повторяется 3,9,7,1,3,9,7,1... т.е.  степень должна быть n=4к-2, где к – натуральное число.

Получим: 3^4к-2+1, заменим основание степени как 3=4-1 (т.к. в степени 4)

(4-1)^4к-2 преобразуем это выражение как многочлен (4-1)(4к-2)=4∙4к-4∙2-4∙1к-1∙(-2)

Видим, что каждое слагаемое делится на 4, кроме последнего.

Сумму 4∙4к-4∙2-4∙1к  обозначим как 4S  и запишем 4S+2=3^4к-2+1=3ⁿ+1. Отсюда видим, что наше число 3ⁿ+1 делится на 4 с остатком 2, а должно делиться полностью, т.к. по условию оно делится на 10¹⁰⁰ и значит на 4. Получили противоречие.

Ответ: такое число не существует.

Решение Недосеко Е.: Предположим, что такое число существует, так да оно делится на 10¹⁰⁰, то делится и на 10. А это значит число оканчивается на 9. Последние цифры 3ⁿ чередуются так : 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1…  Числа с цифрой 9 происходят при n=4k-2 ; k-натуральное число. Так да: 3ⁿ+1=3^(4k-2)+1 Представим, что 3 это 4-1, получим: 3^(4k-2)+1=(4-1)^(4k-2)+1; т.к. степень (4k-2) четная, значит она должна делится на 4 без остатка, но это не получается только с остатком 2, т.к. мы отнимаем эту 2 в степени. То есть число 3ⁿ+1 делится на 4 с остатком 2. Но т.к. по предположению число делится 10¹⁰⁰ оно должно делится и на 4. В итоге получим противоречие.

Ответ: такого числа не существует.