Задачи третьего тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Задачи третьего тура олимпиады "Надежда ЛИСы"
Сдать решения до  31 июля 2014 года.

1.На доске было написано натуральное число  N.   Глафира подсчитала произведение его цифр и получила число К. Потом Глафира подсчитала произведение цифр числа К и получила 1001. Докажите, что Глафира ошиблась.

2.Сумма двух двузначных  чисел равна 147. Оба числа записали в обратном порядке и сложили. Какая сумма могла получиться? Приведите все возможные ответы.

3.Огород квадратной формы 5х5 м нужно разделить несколькими кусками сетки на 5 клетчатых участков одинаковой площади. Это легко сделать, используя 20 м сетки. А хватит ли для этой же цели 16 м сетки? 

4. Найдите наименьшее натуральное число, произведение цифр которого равно 1080.

5.За круглым столом  сидят 10 человек: лжецы и рыцари. Каждый из них знает, кто рыцарь, а кто лжец. Лжецы на любой вопрос дают ложный ответ, рыцари - правдивый. В комнату вошёл мудрец и каждому сидящему задал два вопроса: « Поведай мне, кто твой сосед справа?»и« Поведай мне, кто твой сосед слева? . По их ответам мудрец сумел определить, сколько лжецов и сколько рыцарей  сидят за столом. Какой результат он получил? Ответ объясните.

6.Коммерсант Петя занялся торговлей.  Каждое утро он покупает  товар на некоторую часть имеющихся у него денег (возможно на все имеющиеся у него деньги). После обеда он продаёт купленный товар в 2 раза дороже, чем купил. Как нужно торговать Пете, чтобы через 5 дней у него было ровно 25000 рублей, если сначала у него было 1000 рублей?

7.Проезжая по лесной дороге,  Иван-Царевич встретил медведя, волка и лису. Медведь всегда говорит правду, лиса всегда лжёт, а волк чередует правду и ложь, всегда начиная с правды. Звери сказали Ивану-Царевичу по два предложения.  1-й:«Ты коня спасёшь», «Но сам погибнешь».   2-й :«Ты целым- невредимым останешься», «И коня спасёшь».     3-й: «Ты цел останешься», «А вот коня потеряешь».     Определите, какому зверю принадлежит каждый ответ и что ждёт  Ивана-Царевича впереди.

8. В таблицу 2х5 записали все натуральные числа от 1 до 10. После этого подсчитали каждую из сумм чисел по строке и по столбцу (всего получилось 7 сумм). Какое наибольшее количество этих сумм может оказаться простым числом?

9.Пять шестиклассников на городской олимпиаде по математике в сумме решили 20 задач, причём один из них решил в 2 раза больше задач, чем другой. А сколько задач решил каждый из шестиклассников? Объясните свой ответ. На олимпиаде было 5 задач.

10.Шестиклассники школы сладкоежек собирают конфетные фантики трёх цветов: зеленого, синего и красного- и обмениваются ими по правилам: меняют либо три синих фантика на пять зелёных ( и наоборот, пять зелёных на три синих), либо 7 красных фантиков на 11 синих ( и наоборот,11 синих на 7 красных). Могло ли у ребят в конце месяца оказаться 1111 фантиков, если в начале месяца у них было 1000 фантиков?