Задачи 5 тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Задачи 5 тура олимпиады «Надежа ЛИСы»

Решить до  30 августа 2014года.

1.Докажите, что доску 10х10 нельзя замостить фигурками вида

2.Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали      орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?

3.В пробирке находятся марсианские амёбы  трёх типов: А,В и С. Две амёбы любых  двух типов могут слиться в одну амёбу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке осталась одна амёба. Каким может быть её тип, если исходно амёб типа А было 20 штук, типа В-21 штука, типа С-22 штуки?

4.Имеется шесть натуральных чисел. Для каждой пары этих чисел выписали их наибольший общий  делитель. Могли ли при этом оказаться выписанными все натуральные числа от 1 до 15?

5. По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков и 8 девочек, каждый (каждая)  назвал (назвала) количество своих партнёрш (партнёров) : 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6.     Не ошибся ли кто-нибудь из них?

6.В классе учится 22 ученика. Докажите, что из них можно выбрать четырёх, которые родились в один день недели.

7. По кругу записано  100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все 100 чисел равны.

8.Несколько камней весят вместе 10 т, при этом каждый из них весит не более 1 т. На каком наименьшем количестве трёхтонок можно увезти этот груз за один раз?

9.В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвуют 50 боксеров. Какое наименьшее количество боёв надо провести, чтобы выявить победителя?

10.На столе стоят вверх дном 25 стаканов. За один ход Вася может перевернуть любые два стакана. Сможет ли Вася за несколько ходов поставить все стаканы правильно?