Задачи 4 тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Задачи 4 тура олимпиады "Надежда ЛИСы"
Решить до 15 августа 2014г.

1.Катя выложила на столе из цифр пятизначное число N, а  затем ещё четыре числа: сумму первых двух цифр числа N, сумму первых трёх, первых четырёх, наконец, сумму всех пяти цифр числа N. В итоге на столе оказались: одна цифра 1, шесть цифр 2, одна цифра 4, три цифры 6, две цифры 8. Чему равно число N?  Объясните свой ответ.

2.  На доске было записано арифметическое выражение, значение которого равнялось 2007. Коля поменял в этом выражении две цифры местами, и значение выражения стало равным 2008. Покажите, как такое могло произойти.

3.У Винни  Пуха в шкафу стояло несколько 11-литровых банок с мёдом (банки могли быть заполнены не целиком). Каждый день Винни Пух подходил к шкафу, брал какую-то банку и ел из неё мёд. При этом если в банке было больше 1 л мёда, то он съедал половину мёда из банки, а если в банке оставался 1 л мёда или меньше, то он съедал весь мёд из этой банки. За 14 дней Винни Пух съел весь мёд. Мог ли он съесть 30 л. Мёда?

4. У деда с бабкой были чашечные весы и гири массами 1,3 и 5 кг (гирь каждого веса было больше одной). Сначала бабка уравновесила репку на весах. Потом дед уравновесил репку на весах (репка кладётся на одну чашку весов, гири становятся на другую). Мог ли дед использовать для этого на 3 гири больше, чем бабка?

5.Мама хочет наказать Петю за двойку по математике. Они договорились о следующем. Петя задумывает двузначное число и сообщает его маме. После этого мама тоже задумывает двузначное число и называет его  Пете. Дальше Петя в  первую минуту прибавляет  мамино число к своему числу, во вторую прибавляет мамино число к полученной сумме , в третью – к вновь полученной сумме и т.д. Если в течение двух часов у него получится сумма, оканчивающаяся на две одинаковые цифры, мама отпустит его гулять. Сможет ли мама не позволить Пете в этот день погулять?

6.  Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинством 1, 3 и 5 рублей?             (Эта задача появилась в то время, когда в ходу были купюры достоинством 1,3,5,10,25,50 и 100 рублей ).

7. Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?

8.Можно ли заменить звёздочки в равенстве

1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=0  на знаки «+» и «-» так, чтобы равенство стало верным.

9.В королевстве 1001 город. Король приказал проложить дороги между городами так, чтобы из каждого города выходило 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?

10.Можно ли все клетки таблицы 9х2000 заполнить натуральными числами так, чтобы сумма чисел в любом столбце и сумма чисел в любой строке были бы простыми числами?