Задачи по геометрии для 9 классов

Пример 2. На прямой взяты точки A , B и C так, что точка B расположена правее точки A и AB : BC = 3 . Найдите отношение AC : AB.	Пример 12. Около треугольника ABC описана окружность с центром О. Найдите величину угла ACB , если угол ОСB равен 10°, а угол АОС равен 40°.
Пример 3. Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 1: 2 . Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCМ равна 60.
	Пример 13. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.
	Пример 14. Дан равнобедренный треугольник АВС, AB =BC =10 и AC =12 .Параллельно боковым сторонам треугольника на одинаковом расстоянии от них проведены прямые. Найти это расстояние, если площадь треугольника, об- разованного этими прямыми и основанием, лежащим на прямой АС, равна 12.
4.На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка E , делящая эту сторону прямой в отношении  2 : 3 . Отрезок DE пересекает диагональ AC в точке F . Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AFD ?
	Пример 15. Два ромба ABCD и AMHK, имеющие общую вершину А, расположены так, что стороны АВ и АМ образуют угол в 300 . Известно, что углы при вершине А обоих ромбов равны 60 градусов, площадь пересечения ромбов равна 5 √3 , а площадь их объединения равна 23 √3 . Найти площадь каждого из ромбов.
5.В треугольнике ABC  AB =12 , BC = 5, CA=10 . Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC =4 : 9 . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB , касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF .
Пример 6. В прямоугольнике ABCD AB =2 , BC =√ 3. Точка Е на прямой АВ выбрана так, что <AED =< DEC . Найдите АЕ.
	Пример 16. Прямая касается окружностей радиусов R и r. Известно, что расстояние между их центрами равно a, причем R > r и a >r + R . Найдите расстояние между точками касания.
Пример7.Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках М и Т соответственно и образующая с прямой АВ угол α, tgα= 3. Найдите площадь треугольника ВМТ, если сторона квадрата ABCD равна 4.
	Пример 17. (ЕГЭ 2010). Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке B . Через точку B проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке A , а большую – в точке C . Известно, что AC = 3√ 2 . Найдите BC .
Пример 8. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40. Пример 9. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла.
	Пример 19. Дана окружность радиуса 2 с центром О. Хорда АВ пересекает радиус ОС в точке D, причем <CDA =1200 . Найдите радиус окружности, вписанной в угол ADC и касающейся дуги АС, если OD =√ 3.
Пример 10. Дана трапеция ABCD, основания которой BC =44 , AD =100 , AB =CD= 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC , касается стороны CD в точке K . Найдите длину отрезка CK .	Пример 20. Вершина равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 и основанием 8 служит центром данной окружности радиуса 2. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника.
Пример 11. Дан параллелограмм ABCD, AB=2, BC= 3,<A =600. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника ABOD.
	Пример 21. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB = 16 .