РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ II ТУРА ОЛИМПИАДЫ "НАДЕЖДА ЛИСы"

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ II  ТУРА  ОЛИМПИАДЫ "НАДЕЖДА ЛИСы"

1.  Решите ребус: БАЛЕТ+БАЛЕТ=ТЕАТР

Например: 23674 + 23674 = 47348, 

2.  Жулик попросил у продавщицы Маши бутылку лимонада за 30 рублей, дав фальшивую 100-рублёвую купюру. Сдачи у Маши не было, и она разменяла купюру в соседнем ларьке у продавца Васи. Когда жулик ушёл, Вася понял, что купюра фальшивая, и Маше пришлось отдать ему настоящие 100 рублей. Какой убыток понесла Маша?

До появления жулика у Маши было 100 рублей денег и бутылка лимонада на 30 рублей – итого 130 рублей (остальные деньги и товары нас не интересуют, так как они остались без изменений). После ухода жулика Маша осталась только с 30 рублями, оставшимися после выдачи жулику сдачи. Таким образом, Машин убыток составил 130 – 30 = 100 руб.

3.  Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)

Папа+Мама ___ Папа ___ Бабушка +Малыш ___ Мама ____ Папа+Мама

4.  Аня умножила номер своей квартиры не то на 6, не то на 7. Боря прибавил к результату Ани не то 6, не то 7. Ваня отнял от результата Бори не то 6, не то 7. В итоге получилось 2008. Какой номер Аниной квартиры?

Известно, что после того, как Ваня отнял от результата Бори не то 6, не то 7, получилось 2008. Следовательно, Борин результат – это либо 2008 + 6 = 2014, либо 2008+ 7 = 2015. И это получилось после того, как Боря прибавил к Аниному числу не то 6, не то 7. Значит, Анин результат равен одному из следующих чисел: 2014 – 6, 2014 – 7, 20151 – 6, 2015 – 7, т.е. 2007, 2008 или 2009. Но Анино число получено в результате умножения номера квартиры (числа натурального!) не то на 6, не то на 7. Таким образом, номер ее квартиры находится делением одного из полученных нами чисел на 6 или на 7. Только 2009 делится на 7 и при делении дает 287 – номер Аниной квартиры. Итак, номер Аниной квартиры 287.

5.  Кот Леопольд хочет подарить 9 мышатам одну коробку конфет, в которой должно быть столько конфет, чтобы мышата смогли поделить их, не ломая, так, чтобы каждому досталась хотя бы одна конфета и никто из мышат не получил конфет поровну. В магазине продаются коробки, в которых конфет 40, 45, 50 и 55. Какие из них не стоит покупать коту Леопольду?

Если Леопольд подарит коробку с 45, 50 или 55 конфетами, то мышата могут разделить их следующим образом:

45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9,

50 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 14,

55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 19.

(разумеется, 50 и 55 конфет можно поделить иначе). Если же конфет сорок, то 1-ый мышонок получит не менее 1 конфеты, 2-ой – не менее 2 конфет, …, 9-ый мышонок – не менее 9 конфет. Следовательно, всего мышата получат не меньше, чем 1 + 2 + … + 9 = 45 конфет. Получили противоречие.Ответ: нельзя брать коробку с 40 конфетами.

6.  Вариантов очень много, например, 12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100 (6 знаков);
123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100 (4 знака); 123 – 45 – 67 + 89 = 100 (3 знака – единственно возможное представление).

7.  Обозначим число тракторов, работавших на поле до добавления, как n. Тогда все вместе они вспахивали за день 15n гектаров, и число дней их работы определяется делением 300 на 15n, или 20 на n. Значит, число дней, которые работали тракторы до увеличения их количества (обозначим это число d), может быть 20, 10, 5, 4, 2, 1. Так как после увеличения числа тракторов число дней уменьшилось на 6, то d было не меньше 7. Таких числа два: 10 и 20. Если d = 20, то n = 1, и после увеличения количества тракторов все поле вспахивается за 20 – 6 = 14 дней, но 300 не кратно 14. Если d = 10, то n = 2, и после увеличения количества тракторов все поле стало вспахиваться за 10 – 6 = 4 дня, следовательно, за день вспахивается 300:4 = 75 га, значит, тракторов стало 75:15 = 5, что больше прежнего их числа на 3. Ответ: добавили 3 трактора.

 Решение Федорова Дениса:

Можно составить таблицу

	N, га/сут Производительность 1 трактора за 1 день	T,Время работы общее, дни	A,Работа
2 трактора	15 га	300:30=10	30 га
3 трактора	15 га	300:45=6,6	45 га
4 трактора	15 га	300:60=5	60 га
5 тракторов	15 га	300:75=4	75 га

8.Т. к. длина ковровой дорожки складывается из горизонтальных и вертикальных отрезков, а сумма горизонтальных и вертикальных отрезков в обоих случаях будет равна соответственно длине основания и высоте лестницы, то дорожки хватит и для второй лестницы.

9.Обозначим за s (м) длину поезда, а за v (м/с) – скорость поезда. Используя первую часть предложения задачи, получим первое уравнение: s/v = 5. Так как с момента вхождения поезда на платформу до момента ухода с нее «хвост» поезда проходит расстояние s + 150 (м), то второе уравнение будет: s + 150/v = 15. Решая систему из данных двух уравнений, получаем, что s = 75 м, а v = 15 м/с.

10. В 12.00 стрелки часов сходятся вместе. После этого за 20 минут минутная стрелка проходит 1/3 окружности, то есть описывает угол в 120°. Часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (т. к. описывает круг за 12 часов). Поэтому она за 20 минут опишет угол в 120° : 12 = 10° и будет образовывать с минутной стрелкой угол в 120° - 10° = 110°.