РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТРЕТЬЕГО ТУРА ОЛИМПИАДЫ "НАДЕЖДА ЛИСы"

задача1 Решение  задачи  Ксенофонтовой Ю.  1001 можно получить только умножением на 7*11*13. 11 и 13 – простые числа, а значит их нельзя разложить на множители. Глафира ошиблась, потому что 11 и 13 не цифры ,а  числа. По другому 1001 разложить  нельзя.

задача2.Решение  задачи  Ксенофонтовой Ю

АБ+ВГ=147  

1)      Приведем все возможные варианты   А+В=14 Б+Г=7:
Б+Г

6+1=7

5+2=7

3+4=7

А+В

9+5=14

8+6=14

Тогда:

А-9 В-5 БГ- меняем

96+51=147   69+15=84

95+52=147   59+25=84

94+53=147   49+35=84

А-8 В-6 БГ меняем

86+61=147   68+61=84

85+62=147   58+26=84

84+63=147   48+36=84

2)      А+В=13 Б+Г=17

Тогда:

А-7 В-6 Б-8 Г-9

78+69=147    87+96=183

Все возможные суммы:

84 и 183 

задача 3.  Решение задачи Шайкиным Кириллом  Другие варианты тоже были, но копировать сложно

задача 4 Решение задач Юровой Полиной

Делители 1080: 2, 2, 2, 5, 3, 3, 3. Теперь нужно перемножить несколько цифр друг с другом, чтобы получились однозначные числа, а количество цифр уменьшилось, чтобы получить наименьшее число. Это можно сделать тремя способами. Тогда получатся цифры, из которых нужно составить число:

1. 6 (2*3), 6 (2*3), 6(2*3) и 5.

2. 8 (2*2*2), 5, 9 (3*3) и 3.

3. 4 (2*2), 5, 6 (2*3) и 9 (3*3).

 Самое маленькое число есть во втором варианте – 3. Значит, его нужно поставить в начале числа, а потом в порядке возрастания расположить  остальные числа. Получится число 3589.

3*5*8*9=1080
Ответ: 3589.

задача 6 Решение задач Юровой Полиной

Было: 1000

1 день: купить за 1000, продать за 2000.

2 день: купить за 2000, продать за 4000.

3 день: купить за 4000, продать за 8000.

4 день: купить за 4500, продать за 9000.

8000-4500=3500, 3500+9000=12500

5 день: купить за 12500, продать за 25000.

Решение задачи Балаевым А.

День	Утром	После обеда	осталось
1 день	1000	2000
2 день	2000	4000
3 день	4000	8000
4 день	8000	16000	7000
5 день	9000	18000

как раз получится 18000 + 7000 = 25000 .

Были и другие варианты решения задачи.

задача 7 Решение задачи Борисовой А.

Теория 1.

Предположим, что 3 фраза «Ты цел останешься», «А вот коня потеряешь» принадлежит волку.

Волк всегда сначала говорит правду. Но тогда если Волк врет, что Иван Царевич потерят коня, т.е и конь, и Иван Царевич останутся живы.

Исходя из этого, фразу «Ты целым- невредимым останешься», «И коня спасёшь» говорит медведь.

Остается одна фраза и лиса.

НО: Лиса не может сказать Ты коня спасёшь», «но сам погибнешь», потому что Медведь говорит правду, а Лиса должна врать. Следуя теории 1, она должна сказать, что и конь, и Иван Царевич погибнут. Эта теория не верная.

Теория 2. Допустим, что Волк говорит вторую фразу:  «Ты целым- невредимым останешься», «И коня спасёшь». На счет Ивана Царевича - правда. А про коня - ложь.

Т.е Иван Царевич выживет, но коня потеряет.

Исходя из этого, медведь говорит фразу 3: «Ты цел останешься», «А вот коня потеряешь».

А Лиса врёт:  Ты коня спасёшь», «но сам погибнешь.

Ответ: ЛИСА - фраза 1.

             ВОЛК - фраза 2.

             МЕДВЕДЬ - фраза 3.

Иван Царевич останется жив, но потерят коня.                                                                                    задача 8 Решение задачи Рвач О.

Наибольшее количество сумм – 6.

1	10	11
2	9	11
3	8	11
7	4	11
5	6	11
18	37

Решение задачи Борисовой А.

Число сумм не превышает шести. Найдем сумму 10 чисел: 10 * 11 : 2 = 55

Сумма первого столбца и сумма второго столбца равна сумме всех 10 чисел, т.е. равна 55. Если сумма одного из столбцов равна нечетному числу, то сумма второго четная.

Только одно четное число может быть простым числом. Это число 2.

НО: его не дает ни одна сумма данных чисел. Понятно, что среди указанных сумм не может быть больше 6 простых чисел.

Докажем теперь, что среди 7 сумм может быть 6 простых чисел. Таблицу можно разбить так:

1 строка: числа 1 и 2

2 строка: числа 4 и 3

3 строка: числа 5 и 6

4 строка: числа 10 и 7

5 строка: числа 9 и 8

Сложим числа:

1 + 2 = 3

4 + 3 = 7

5 + 6 = 11

10 + 7 = 17

9 + 8 = 17

По столбцу:

1 + 4 + 5 + 10 + 9 = 29

Простые числа - 3, 7, 11, 17, 17, 29.

Наибольшее число сумм - 6.

Решение задачи Курносовой Е.

Можно записать числа следующим образом

   1+10=11

   2+9=11

   3+8=11

   4+7=11

   6+5=11

То есть все суммы по сторким оказались простым числом и их получилось 5.

Сложим столбцы 1+2+3+4+6=16 (не простое число) и 10+9+8+7+5=39 (простое число).

Всего получилось 6 простых чисел и их не может быть больше, потому что сумма первого столбца + сумма второго столбца равна сумме всех 10 чисел, т.е. равна 55, а если сумма одного из столбцов равна нечетному числу, то сумма второго будет четная (нечетное 55 может состоять только из четного и нечетного числа). Значит одна из сумм по столбцу всегда будет четной и не будет являться простым числом.

Ответ 6 сумм.

задача 9 Решение задачи Рвач О.

Рассмотрим один из вариантов. Если на олимпиаде предложено было пять задач, значит, один из учеников мог решить 2   задачи,   а   другой ученик 1 задачу.

Первый ученик решил 2 задачи, второй решил 1. А остальные участники олимпиады  (20 – 2-1=17), но максимальное число задач, которые мог решить один участник-  это 5 задач. (5*3= 15 задач). Значит, первый вариант рассуждения нам не подходит, так как остались лишнее две задачи.

Если на олимпиаде предложено было пять задач, значит, один из учеников мог решить 4   задачи,   а   другой ученик 2 задачу.

Первый ученик решил 4 задачи, второй решил 2. А остальные участники олимпиады  (20 – 4-2=14), из этого следует, что первый участник олимпиады решил 4 задачи, второй 2, третий 5, четвертый 5 и пятый 4 задачи. 20 задач было решено всего.

решение задачи Балаевым А.

В условии задачи сказано, что один ученик решил в 2 раза больше задач, чем другой. Таких может быть два варианта это 1 и 2; или 2 и 4. Теперь рассмотрим какой из вариантов подойдет.

	1	2	3	4	5
1 уч.	+
2 уч.	+	+
3 уч.
4 уч.
5 уч.

20 – 3 = 17 задач

17 задач нужно раскинуть на 3 шестиклассников, но так, чтобы никто из них не решил 4 задачи (т.к. получиться, что 2 в два раза  больше 1 и  здесь же 4 больше 2 в два раза.) значит раскдываем 3 и 5 задач на трех учеников, чтобы в сумме было 17. Такого быть не может.

Рассмотрим вариант с 2 и 4, так же, только, не используя  1 задачу.

	1	2	3	4	5
1 уч.	+	+
2 уч.	+	+	+	+
3 уч.
4 уч.
5 уч.

20 – 6 = 14

14 можно разделить на трех учащихся вот так

	1	2	3	4	5
1 уч.	+	+
2 уч.	+	+	+	+
3 уч.	+	+	+	+	+
4 уч.	+	+	+	+	+
5 уч.	+	+	+	+

Ответ: 1уч-2 задачи

2уч-4 задачи

3 уч-5 задач

4 уч-5 задач

5 уч-4 задачи

задача 10 решение задачи Ксенофонтовой Ю.

Число 1000 – четное. Число 1111- нечетное. При обмене фантиков 1000 либо уменьшается на 2;4 либо увеличивается на 2;4(11-7=4; 5 -3=2). Всегда при сложении четного числа с четным получается четное число , а при вычитании четного числа из четного тоже получается четное число . Вывод : из числа 1000 не может получиться 1111 меняя 5 зеленых на 3 красных (либо наоборот),  11 синих на 7 красных ( либо наоборот), потому что их разница при обмене всегда четная ,а из двух и более четных чисел нельзя сделать нечетное число. 

Решение задачи Федоровым Д.

К-во фантиков увеличивается на 1000-3+5=1002 т. е. на 2 или 1000-7+11=1004 или на 4 – получается всегда чётное число, значит можно получить только 1110 фантиков, а 1111 нечётное и получить нельзя.

Ответ: не могло у ребят в конце месяца оказаться 1111 фантиков!