Итоги третьего тура олимпиады "Надежда ЛИСы"
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение задач. 1 задача Если написать число 1984 подряд n раз , то по признакам делимости на 9 и на 11 полученное число будет делиться на 99, если n делится на 9 и на 11.Поэтому число 1984 надо написать подряд 99 к раз., к принадлежит N. Были снижены баллы, если написано было только 1984 раза. 2 задача.Без ничьих провели 2/3 от общего числа команд. Эти команды имели только победы и поражения. Из условия получаем, что поражения имели 3/4 от этих 2/3 , т.е. 1/2 команд.Следовательно, оставшиеся команды имели только победы. Но такая команда может быть в турнире только одна, а по условию их число составляет 1-(1/2-1/3) = 1/6 от общего числа команд. Таким образом, в турнире участвовали 6 команд. Ничейные результаты имели поэтому 2 команды, а это возможно только в том случае, когда вничью они сыграли между собой. Следовательно, все матчи, кроме одного, были результативными. Поскольку в турнире из 6 участников проводится 15 партий, то результативными оказались 14. 3 задача.Велосипедисты встретились через 2 часа на расстоянии 40 км от А. За это время каждая муха пролетела 100 км. Муха, вылетевшая из А, пролетела в направлении т А к В на 40 км больше, чем в обратном, и поэтому от А к В она пролетела 70 км. Аналогично, вторая муха в направлении от А к В пролетела на 60 км меньше, чем в обратном, т.е.20 км. 4 задача.Пусть интервал между автобусами t минут, Поскольку между 7 и 17 часами проходит 600 минут, а между 6 и 16-480 минут, то можно рассуждать следующим образом: Раз 27 автобус отправляется после первого через 26 t мин., то должно выполняться неравенство 480<26t< 600, отсюд а 13<300Рассуждая аналогичным образом, можно утверждать, что между 43 и 27-м рейсом проходит 16t мин и 6*60<16t<8*60/ или 360<16t<480, отсюда 90<4t. Одновременно неравенствам 90<4t и 13t<300 удовлетворяет лишь одно целое число t=23, причем 23*26=598 Таким образом, 1-й автобус отходит в 7 часов 01 минуту, а 14-й через 13*23=299 мин., т.е. ровно в 12 часов. Второй ответ- 11 часов 59 минут. 5 задача К обратному расположению шахматистов по числу побед приводит, например, следующий матч- турнир из 6 кругов: в первом и во втором круге С проиграл и А, и В, в третьем круге С проиграл В и выиграл у А, и далее С проиграл В три партии, а все остальные партии в матч-турнире закончились вничью. Нетрудно подсчитать, что при этом шахматисты А, В и С набрали соответственно 6,5, 6 и 5,5 очков, одержав 2,3 и 4 победы. 6 задача Если один из участников решил хотя бы две задачи, то, поскольку каждая задача решена одним из участников, найдётся ещё не более трёх участников,которые, вместе с первым, решили все предложенные задачи. что противоречит условию. Следовательно.каждый из участников олимпиады решил не более одной задачи.Если два участника решили одну и ту же задачу, то вместе с любыми тремя другими они решили в совокупности не более четырёх задач, что также противоречит условию, так что все участники, решившие хотя бы одну задачу, решали разные задачи. Поэтому получивших первую премию столько же, сколько было предложено задач, т.е. 5 человек. 7 задача В нашем веке остался лишь один город, две последние цифры которого образуют простое число - 1997, и поэтому сумма цифр основания города равна 13. Кроме того, вторые цифры года основания образуют число, отличающееся от 97 на 25, 50 или75, и поскольку это число простое, то оно равно 47. Теперь ясно, что год основания города- 1147 и этот город - Москва. 8 задача Вычисляя последовательно пятое, шестое и т.д. числа, можно убедиться, что девятое число совпадает с первым, десятое со вторым, одиннадцатое- с третьим, так что далее числа будут повторяться.Следовательно, в полученной последовательности числа повторяются через 8 шагов. Разделив 1994 с остатком на 8, получим , что 1994-е число равно второму и будет равно в. 9 задача Разобьём все числа от 1 до 1992...1992 на шестёрки: от 1 до 6, от 7 до 12, от 13 до 18 и т.д. и в каждой шестёрке первое и шестое поместим в группу А, второе и пятое - в группу В, третье и четвертое - в группу С, тогда суммы чисел в каждой группе будут равными некоторому числу S. Теперь в группу А переложим карточки с номерами 4,9 и 10 из группы С и карточку с номером 56 из группы В, в новых группах суммы чисел будут равны S+79, S-56,S-23, так что новые группы удовлетворяют условию задачи, если их занумеровать в порядке S-56, S-23,S+79. 10 задача. Пусть Х- стоимость 1 л молока, если бы он стоил на 1 коп дороже , то сдача бы не потребовалась, и поэтому Х+1 является, как следует из второго условия задачи, нечетным делителем чила 100, т.е. Х+1 принадлежит от 5 до 25. Следовательно, х+4 или х=24. Оба ответа удовлетворяют условию задачи. | км. |
Комментариев нет:
Отправить комментарий