Решения задач четвертого тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Решения задач четвертого тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

1.Футбольные команды «Торпедо» и «Маяк» принимали участие в двух различных турнирах, в которых каждый участник встречается с каждым по разу. Когда турнир с участием команды «Торпедо» закончился, в другом турнире было проведено столько же матчей, сколько в первом, и до конца оставалось три тура. Сколько команд участвовало в каждом турнире?

Решение: Если в торпедовском турнире  участвовали n команд, а в маяковском  k  команд, то в первом из них было сыграно n(n-1)/2 матчей, а во втором к этому моменту каждая сыграла с  k-4  соперниками. По условию, n(n-1)= k(k-4).

Ясно, что n< k , иначе первый тур длился бы дольше второго, а тогда  n-1> k-4, т.е.

n> k-3, и следовательно, n равно  либо k-1, либо k-2.

В первом случае

(k-1)( k-2)= k(k-4).

K²-3 k+2= K² -4 k      k= -2, что невозможно.

Во втором случае (k-2)( K-3)= k(k-4).

K²-5k+6= K² -4 k,    k=6.

Таким образом, в торпедовском турнире играли 4 команды, в маяковском- 6 команд.

2.Можно ли на окружности расставить числа от 1 до 1991 так, чтобы сумма любых из десяти подряд стоящих чисел делились на 11?

Решение: Если 1991 число на окружности расставлено требуемым образом, то, разбив числа от 2 до 1991 на 199 групп по 10 стоящих подряд чисел, мы получим, что сумма всех чисел от 2 до 1991 делится на 11. Однако,

2+3+…+1991=(2+1991)+(3+1990) +…+(996+997)=1993·995, а это число не делится на 11, потому что оба множителя не делятся на 11. Следовательно, такая расстановка чисел невозможна.

Решение Ксенофонтовой Ю. Для начало предположим, что можно. Тогда  выберем группу 11 подряд стоящих чисел. По условию  сумма любых десяти чисел делятся на 11.Тогда сумма чисел с 1-го по 10-ое делится на 11.. Сумма со 2-го по 11 тоже делится на 11. Тогда при делении на 11 первое и одиннадцатое выбранное число имеют одинаковый остаток.(сумма остальных девяти чисел неизменна с 2 по 10).Получается, что любые два числа ,между которыми стоят девять чисел, имеют одинаковые остатки при делении на 11.Раздилив все числа по10 в групп, то в каждой группе будет имеется такое число ,которое при делении на 11 дает «нужный остаток»(такой же как в другой группе это порядковое число).Групп всего получается 1991/10=не меньше 199.Тогда есть 199 чисел, дающих одинаковый остаток. Тк остаток не может быть больше делителя, то он находится в пределе от 0 до 10.А каждого остатка среди 1991 чисел всего по 181. 181<199.Значит такого быть не может. Предположение не верно.

Решение Юровой П. Рассмотрим, как можно расставить числа, чтобы получить число, которое делится на 11. Каждое число относительно 11 можно представить, как 11х+у, где х - неполное частное от деления на 11, а у - остаток. Если в сумме из 10 чисел сумма у, т.е. остатков будет кратна 11, то вся сумма так же будет кратна этому числу. Сумма чисел от 1 до 10 будет кратна 11, т.к. если мы будем складывать числа, стоящие по краям, т.е. 1  и 10, 2 и 9, то их суммы будут равны 11.

Потом возьмем следующие числа кроме 11 - от 12 до 21. Их нужно поставить так, чтобы при передвижении на одно число, одно число заменялось другим такого же типа. Т.е. Рядом с числом 10 будет стоять 12, т.к. сумма 10 и 12 тоже кратна 11, значит, 12 может заменить 1. Так нужно продолжить делать и дальше, поставить после 12 - 13 и т.д.

Но тогда потом останутся числа, кратные 11. Каждые 10 из них будут давать в сумме число, кратное 11. Но их некуда будет поставить, т.к. сумма должна состоять из 10 чисел, а не из 11, и если одно число в ней заменить на кратное 11, то порядок нарушится.

Значит, так расставить числа нельзя.

Ответ: нельзя.

3. В клетках прямоугольной таблицы размером 19х91 расставлены некоторые числа, причем суммы чисел в каждой строчке и в каждом столбце все равны между собой. Чему может равняться эта сумма?

Решение Ксенофонтовой Ю.  Предположим, что сумма в каждой строчке равна X. А сумма в каждом столбце Y.Так как суммы во всех столбцах и во всех строчках равна, то X=Y.Сумма всех чисел по строчкам равна 19X=19Y. Сумма по столбам равна 91Y=91X. Получается, что 91Х=19Х.Тогда Х =Y=0. Значит все суммы равны 0.

Ответ: Суммы равны 0

4. Машинистка хочет отобрать из 120 чистых листов бумаги пачку из известного только ей количества  листов. При подсчете она тратит 1 с на 1 лист. За какое наименьшее время она наверняка сделает свой отбор независимо от количества листов в пачке?

Решение Юровой П. Чтобы пересчитать все листы машинистке понадобится 120 секунд, т.е. 2 минуты. Однако, если она, например, захочет сразу взять пачку из 120 листов, то ей не нужно будет их отбирать, если она знает количество листов в пачке. Так же, если она захочет взять пачку из 119 листов, то ей не нужно будет их все пересчитывать, т.к. достаточно будет убрать 1. Получается, что наибольшее количество времени она потратит, если решит взять половину всех листов, т.к. до этого всегда будет достаточно отсчитать часть меньше половины – ту, которую взять или которую убрать. Получается, что за 120:2*1=60 секунд она наверняка сделает свой отбор.

Ответ: 60 секунд = 1 минута.

5. Существует ли такое число, составленное из цифр от 1 до 9 без повторений, что его произведение на 8 получается из него перестановкой цифр?

Решение: Пусть искомое число равно х . Тогда  для того, чтобы 8х было девятизначным числом, необходимо, чтобы число    Х имело вид 12… Но для того, чтобы в числе 8х цифры не повторялись, нужно, чтобы х=123… (иначе уже при х=124… получаем 8х=99…)

Аналогично

При х=1235…        8х=988…,          т.е. х=1234…,

При х= 12346…      8х=98768…,     т.е.  х=12345…,

При х=123457…      8х=987656…,   т.е.х=123456…

При х=1234568…   8х=9876544…,    х=1234567…,

При х= 123456798   получаем  8х= 987654384, так что х= 123456789.

Полученное число удовлетворяет условию 123456789·8=987654312.

6. Найти двузначное число, произведение которого с числом 10 на 3  меньше, чем куб суммы его цифр.

Решение Ксенофонтовой Ю: Пусть искомое число будет АВ. Тогда:

АВ*10+3=(А+В)³

(10А+В)*10+3=(А+В)³

100А+10В+3=(А+В)³

АВ3=(А+В)³

Теперь найдем такое число, которое в 3 степени было бы 1)трехзначным 2)оканчивалось 3.Для этого рассмотрим кубы чисел. Нам подходит число 7.

7³=343.

Значит сумма А+В=7.Тогда куб будет равен 343.Найдем АВ:

АВ*10+3=343

АВ*10=340

АВ=34- искомое число

Ответ: 34.

Решение Юровой П.: Пусть число – ab, тогда куб суммы его цифр равен (a+b)³ или 10(ab)+3. Составим и решим уравнение.

10(ab)+3=(a+b)³

10(10a+b)3=(a+b)³

100a+10b+3=(a+b)³

Получается, что куб суммы цифр выглядит, как ab3. Сумма a+b должна быть однозначным числом, т.к. куб первого двузначного числа – 10 – это уже четырехзначное число. Однозначное число, куб которого заканчивается на 3 только одно – 7.

7³=7*7*7=343

3+4=7 – это число подходит под условие. Значит, двузначное число – 34.

Ответ: 34.

7.Можно ли в десятичной  записи степени пятерки так переставить  цифры, чтобы получилось другое число, также являющееся степенью пятерки?

Решение: Если из  числа а, являющегося степенью числа 5, при перестановке цифр получилось число в  , так же являющееся  степенью числа 5, то а и в – «соседние» степени, так как  при перестановке цифр число может увеличиться не более , чем в 9 раз. Если, для определённости , в=5а, то в-а=4а  не делится на 3, но числа в и а имеют одну и ту же сумму цифр, так что (в-а) делится на 3. Полученное противоречие показывает, что ответ на вопрос задачи –отрицателльный.

Решение Юровой П. Если переставлять цифры, то изменять их количество нельзя. Рассмотрим количество цифр в разных степенях числа 5. 1, 5, 25, 125, 625, 3125 и т.д. Если число умножить на 5 два раза, то в нем уже не будет такого же количества цифр, как было до этого. Значит, нужно найти 2 числа с одинаковым количеством цифр, одно из которых больше другого в 5 раз, и оба являются степенью числа 5. Из них одно число будет начинаться на 1, а другое - на 5, 6, 7 или 9.

Рассмотрим несколько степеней числа 5 с одинаковым количеством знаков, например: 15625 и 78125, 1953125 и 9765625, 1220703125 и 6103515625 и т.д. Сумма цифр второго числа всегда будет больше суммы цифр первого, т.к. его единицы будут умножаться на 5, к остальным числам будут прибавляться десятки, но количество цифр остается таким же. Значит, так переставить цифры нельзя.

Ответ: нельзя.

8. Двузначное число разделили на однозначное и к  частному прибавили тоже самое однозначное число, после чего получилось обращенное к данному двузначное число. Найти все такие двузначные числа. ( Надеюсь, что вы уже познакомились с понятием обращенного числа).

Решение Юровой П.: Пусть первая цифра двузначного числа - а, а вторая - b, однозначное число - х. Составим программу.

program Z8;

var

a, b, x: integer;

Begin

For a:=1 to 9 do

For b:=1 to 9 do

For x:=1 to 9 do

If (10*a+b)/x+x=10*b+a then

writeln (' Двузначное число - ', a, b,' ,однозначное число - ', x)

else;

end.

В результате получаем 3 ответа: 72 и 3, 81 и 9, 94 и 2.

Проверим это.

72:3+3=24+3=27;

81:9+9=9+9=18;

94:2+2=47+2=49

Ответ: 72 и 3, 81 и 9, 94 и 2.

Решение Борисовой Ю. Число десятков двузначного числа обозначим за А, а число десятков за В, а однозначное число за С.
Тогда получаем такую формулу: (10А+В):С+С=10В+А.
 Сразу нужно сказать, что эти числа не должны быть: 11,22,33,44,55,66,77,88,99.
Двузначное число должно оканчиваться на 2,4,6 и 8, так как при делении на число единиц мы получим нецелое число.
Мы получили три числа: 72, 81, 94.
72:3 + 3 = 27
81:9 + 9 = 18
94:2 + 2 = 49
 Ответ: 72, 81, 94.

9.Каждый член последовательности 76,87,100,98,113,115,119,127,134,139… получается из предыдущего по некоторому правилу, в которое входят сумма и количество его цифр. Какое следующее число в этой последовательности?

Решение Федорова Д: Правило такое: складываются цифры десятков и единиц, и вычитается 2. Получившееся число прибавляется к данному и получается следующее.

7+6-2=11, 11+76=87

8+7-2=13, 13+87=100

0+0-2=-2, -2+100=98 ß по числам 100 и 98 я и вычислил закономерность.

9+8-2=15, 15+98=113

…

3+9-2=10, 139+10=149.

Ответ: следующее число 149.

10.Может ли число вида 5ⁿ+1 делиться на 7¹⁰⁰ ?

Решение Юровой П.: Рассмотрим на что оканчиваются разные степени числа 7.

7²=49

7³=343

7⁴=2401

7⁵=16807

7¹⁰⁰ можно представить как (7⁴)²⁵. 7⁴ заканчивается на 1, значит, в конце этого числа всегда будет 1. Любая степень 5, кроме 0, заканчивается на 5. Значит, 5n+1 заканчивается на 6. В таком случае, 5n+1 будет иметь вид 7¹⁰⁰*(10а+6).

Признак делимости на 7 - "результат вычитания удвоенной последней цифры из числа без последней цифры должен делиться на 7". Одно из чисел 5n+1 - 126 соответствует данному признаку.

Заметим, что каждый раз, умножая число 2401 на себя, мы получаем перед 01 цифру, которая получится, если прибавить 4. Т.е. сначала будет 401, потом 801, затем 201, 601, 001 и дальше повторяется. Тогда 001 повторяется каждое пятое число. 25 делится на 5, значит, число  (7⁴)²⁵ будет заканчиваться на 001.

В таком случае, если умножить его на 126, то это число, возможно, будет делиться на 7.

Ответ: может.

Решение  Федорова Д.: допустим, что число делится на 7, тогда 5 надо поставить в такую степень, чтобы при прибавлении 1 число делилось на 7. На 7 делится 5³, 5⁹, 5¹⁵, замечаем, что степень n =3∙1, 3∙3, 3∙5, 3∙7 замечаем 3,5,7 – нечетные числа,

тогда степень можно записать 3(2к-1)=6к-3, или 5^(6к-3)

Теперь запишем основание степени 5 как 6-1(т.к. в степени 6) и получим (6-1) ^6к-3.

Далее преобразуем как многочлен (6-1) (6к-3)=6∙6к-6∙3-6∙1к+3, отсюда видим, что все слагаемые кроме последнего делятся на 6, обозначим сумму 6∙6к-6∙3-6∙1к=6S  и запишем

6 S+3=5 ^(6к-3) = 5ⁿ+1. Отсюда мы видим, что наше число делится на 6 с остатком 3 , а значит, полностью делится на 7.

Ответ: может число  вида 5ⁿ+1 делиться на 7¹⁰⁰.

Решение: Докажем, что если число 5ⁿ+1 делится на 7^к , то  5⁷ⁿ+1 делится на 7^к+1.

Заметим сначала, что при а=5 ⁿ    в равенстве  а⁷ +1=(а+1)(а⁶-а⁵+а⁴-а³ +а² –а+1). Кстати, материал 7 класса.  Первый множитель делится на 7^к

Так как  (а+1) делится на 7, то при делении на 7 число а дает остаток 6, и , следовательно, остаток от деления на 7 второго сомножителя равен остатку от деления числа

 6⁶-6⁵+6⁴-6³+6²-6+1=36³-36²·6+36²-36·6+36-5, т.е числа 1-6+1-6+1-5=-14, равен 0.

Другими словами, второй сомножитель делится на 7, а все произведение делится на 7^к+1, что и требовалось доказать.

 Остается подобрать хотя бы одно число n  , для которого 5ⁿ+1 делится на 7. Таким числом является n=3.