Решение задач второго тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Решение задач второго тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

1.Для каких натуральных n число (а²+в²)ⁿ , где а и в- различные натуральные числа, является суммой квадратов двух натуральных чисел?

Решение: Если (а²+в²)^k = А²+В²  , то (а²+в²)^k+1 =( А²+В² )· (а²+в²)=(Аа-Bb)² + =(Аb+Ba)².

Поскольку при n= 1 число (а²+в²)ⁿ  является суммой квадратов двух натуральных чисел, то это верно при n=2 и n=3  и т.д., т.е. при любом натуральном  n.

2.Можно ли в таблицу 5х5 записать числа 1,2,3,…24,25 так, чтобы в каждой строке сумма некоторых из записанных в ней чисел была равна сумме остальных чисел этой строки?

Решение: Предположим, что числа в таблицу записаны так, как это требуется в условии задачи. Тогда сумма чисел в каждой строке четна. Значит, должна быть четной и сумма всех чисел в таблице, но она равна 1+2+3+…+25=325. Получаем противоречие. Это значит, что сделанное предположение неверно: требуемого размещения чисел в таблице не существует.

Решение Федорова Дениса: Чтобы сумма некоторых из записанных в строке чисел была равна сумме остальных чисел этой строки, надо в каждой строке иметь чётную сумму. А

сумма чисел от 1 до 25 нечётная (12 чётных и 13 нечётных слагаемых, распределим их в таблицу 5х5)

					Сумма
ч	ч	ч	н	н	Чётная
ч	ч	ч	н	н	Чётная
ч	ч	ч	н	н	Чётная
ч	ч	ч	н	н	Чётная
н	н	н	н	н	Нечётная

Таким образом, в последней строке сумма нечётная, поэтому нельзя записать числа согласно условию.

3.В вершинах куба расставлены различные  числа. Каково наибольшее число тех из них, которые  больше  среднего арифметического своих трёх соседей?

Решение: Если на нижней грани куба расставить против часовой стрелки  числа 1,11,14,10, а на верхней грани над ними соответственно поставить числа 9,13,15,12, то каждое из поставленных чисел , кроме 1, будет больше среднего арифметического трёх своих соседей. Так как все числа различны, то среди них имеется наименьшее число. Это число меньше всех своих соседей, а следовательно, меньше их среднего арифметического. Искомое наибольшее число равно 7.

Многие решали эту задачу с помощью картинки, поэтому не показываю (заморочки с вставками)

4. Имеется 20 литровых сосудов, содержащих 1 куб.см , 2куб.см 3 куб.см …20  куб.см   воды. Из сосуда А разрешается  перелить в сосуд В  столько воды, сколько имеется в В ( при условии, что в А не меньше воды, чем в В) . Можно ли  после нескольких переливаний : а) добиться того, чтобы в каких-то пяти сосудах оказалось по 3 куб.см воды, а в остальных- по 6 куб.см, 7 куб.см, 8 куб.см , … 20 куб.см воды ? б) перелить всю воду в один сосуд?

Решение: После переливаний число сосудов, содержащих нечётное число см³ , не увеличивается. Действительно, при указанных в  условии возможных переливаниях пара (ч,ч) перейдет в пару (ч,ч),  пара (ч,н) перейдет в пару (ч,н) , пара (н,н) в пару (ч,ч). (Ч.Н- означает , что берется сосуд с четным или нечетным количеством воды). Сначала было 10 сосудов с нечетным числом  см³ воды ,а после предполагаемых переливаний  среди сосудов, содержащих 3,3,3,3,3,6,7,8,…,20 см³ воды,получится12 таких, которые содержат нечетное число см³ воды. Противоречие, значит, требуемое переливание невозможно.

б)Общее количество воды в сосудах равно 1+2+3+…+20=2·105 см³. Если бы всю воду перелили в один сосуд, то перед последним переливанием в некоторых сосудах  А и В было бы по 105 см³ . Но нечетное, большее 20, число см³ воды в сосуде можно получить только отливая из него воду. Таким образом, в какой-то моментов одном из сосудов А и В  было не меньше, а в другом больше 105см³ воды, что невозможно.ибо общее количество воды тогда превосходит 210 см³ .

Решение Федорова Дениса:    

Когда мы переливаем воду из чётного сосуда в чётный, получается 2 чётных. Например: из 4 в 2 получается 2 и 4.

Когда мы переливаем воду из чётного сосуда в нечётный, получается нечётное и чётное. Например: из 4 в 1 получается 3 и 2.

Когда мы переливаем воду из нечётного сосуда в чётный, получается нечётное и чётное. Например: из 5 в 2 получается 3 и 4.

Когда мы переливаем воду из нечётного сосуда в нечётный, получается 2 чётных. Например: из 7 в 3 получается 4 и 6.

Таким образом, при любом из переливаний количество нечётных чисел либо уменьшается, либо остаётся неизменным.

При этом изначально было 10 чётных и 10 нечётных сосудов, а необходимо получить 8 чётных и 12 нечётных т.к. когда числа 1,2,3,4,5 заменяют на 3,3,3,3,3, два чётных становятся нечётными; то есть количество нечётных слагаемых  должно увеличиваться, а чётных—уменьшаться, но это как показано выше невозможно.

Ответ: нельзя.

    б) перелить всю воду в один сосуд?

 Решение: нужно переливать из нечетного сосуда в нечетный сосуд и останутся только четные сосуды. Например, из 3 в 1- получится  2 и 2, из 7 в 5 – получаем  2 и 10 и т. д.. Будем добиваться, чтобы были пары с равными сосудами. А затем эти равные будем сливать друг с другом. Я получил 3 сосуда с 2, 128 и 80.  Нельзя больше объединить сосуды.

 Ответ: нельзя

5.Существует ли натуральное число, которое в 1995 раз больше суммы своих цифр?

Решение Усковой Ольги : Чтобы найти число, которое в 1995 раз больше суммы своих цифр можно просто умножать 1995 на некоторое число и подсчитывать сумму цифр. Но умножать 1995 на цифры на подряд слишком долго. Можно сократить множество чисел. Это можно сделать так: число 1995 кратно 3, следовательно, можно умножать на числа кратные 3.
Тогда будет так, что а- любое число, которое умножив на 3 будет равно сумме своих цифр. Т.е. 3а=сумма цифр числа.

а	3а	3а∙1995	Сумма цифр
1	3	5985	27
2	6	18970	18
3	9	17955	18
4	12	23940	18
5	15	29925	27
6	18	35910	18
7	21	41895	27
8	24	47880	27
9	27	53856	27

Эту таблицу можно продолжать и далее, но мы убедились, что такие натуральные числа существуют.

Ответ: Да, существуют. 1995·18=35910 и 1995·27=53865.

Решение Балаева Антона: Составив программу

Program Z5

uses crt;

Var

 i,s,n :integer;

Begin

For i:= 1000 to 9999999 do

Begin

s:=0;

n:=i;

While n >=1 do

Begin

s:=s+(n mod 10);

n:=n div 10;

End;

If s*1995=i then write (i,' ');

end;

readln;

End.

Мы узнаем, что есть два таких числа 35910 и 53865

6. Каждое двузначное число разделили на сумму квадратов его цифр. Какие целые числа при этом получились?

Решение:  Будем называть числа, которые делятся на сумму квадратов своих цифр, хорошими. Проверив «круглые» двузначные числа, убеждаемся, что хорошими среди них являются только 10,20 и 50:

10=10·1,  20=5·4, 50=2·25, так что в частном могут появиться целые числа к=1,2,5.

Далее будем искать возможные целые частные К , большие 2.

Если число имеет цифры а и в , то 3а²+3в²<100, так что а²+в²≤33.

Заметим также, что при а=в  число не делится на сумму  квадратов своих цифр, потому что 11а не  делится на а² – иначе 11 делилось бы на а. Кроме того, обе цифры не могут быть нечетными- иначе число нечетно, а сумма квадратов его цифр четная.

Составим всевозможные  суммы а²+в² , удовлетворяющие условиям а²+в²≤33  и а ǂ в.

	в2=1	в2=4	в2=9	в2=16	в2=25
а2=1		5		17
а2=4			13		29
а2=9				25

Из этого получаем , что суммам квадратов 5,10,13,29,25  соответствуют числа

12,14,23,25,34

21,41,32,52,43  и только эти числа могут быть хорошими. Однако никакое из этих чисел не делится на стоящую над ним в самой первой строчке  сумму его цифр, так что хороших чисел среди них нет. Поэтому хорошими являются только найденные выше три круглых числа, а искомые целые частные- это 2, и 10.

Решение Юровой Полины:

1. Исключим из списка чисел от 10 до 99:

1) Простые числа.

2)  Числа, у которых оба числа нечетные (т.к. тогда получится 2 нечетных квадрата, их сумма будет четным числом, а нечетное на четное не разделится)

3) Если в числе есть цифра 9, то уберем все числа, в записи которых есть эта цифра, если они меньше 81. Так же следующее число, которое делится на 81 - 81*2=162. Поэтому можно исключить все числа, в записи которых есть цифра 9, т.к. 81 ни одно из них не равно.

4) Пользуясь таким же принципом, исключаем все числа с цифрой 8, 7, 6.

5) Единственное число с цифрой 5, которое будет делиться на сумму квадратов своих цифр - это число 50, у которого сумма квадратов считается за одно число. Остальные числа с цифрой 5 меньше 25 исключаем, как потом с цифрами 4 и 3 исключаем числа меньше квадрата или не равные его произведению на какое-то число.

 Остается несколько чисел - 10, 12, 20, 21, 22. Проверив их делимость на сумму квадратов их цифр получим еще два числа, подходящих условию - 10 и 20.

2. Пусть число - ab. Тогда сумма его чисел - a+b, пусть частное равно n. Тогда:

ab:(a+b)=n

10a+b=n(a+b)

10a+b=na+nb

10a-na=nb-b

a(10-n)=b(n-1)

a/b=n-1/10-n

Чтобы равенство было верным, n должно быть меньше или равно 10, но больше 0. Подбором найдем числа 10, 20 и 50

10:1=10,   20:4=5,      50:25=2   Тогда получившиеся числа равны 2, 5 и 10.

Ответ: 2, 5, 10.

Решение Шешуковой Марины с помощью информатики выше:

7.При стрельбе по мишени спортсмен выбивал только по 8, 9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен и какие были попадания?

Решение Юровой Полины.

Сначала допустим, что выстрелов было 12. Пусть по 8 он попал х раз, по 9 – у раз. Тогда по 10 попал (12-х-у) раз. Всего он выбил 100 очков. Составим и решим уравнение.

8х+9у+10(12-х-у)=100

8х+9у+120-10х-10у=100

-2х-у=100-120

-2х-у=-20

2х+у=20

у=20-2х

у=2(10-х

Количество очков не может быть отрицательным, поэтому нам нужно, чтобы сумма х и у была меньше или равна 12. Обозначим количество попаданий по 10 за а. Тогда есть такие варианты:

х=8, у=4 – тогда сумма равна 12, а=0;

х=9, у=2 – тогда сумма равна 11, а=1;

х=10, у=0 – тогда сумма равна 10, а=2

Однако, если он выбил каждое количество хотя бы 1 раз, то единственный вариант – 2, потому что в 1 нет попаданий по 10 очков, а в 3 – по 9 очков.                                                        Теперь разберем тот случай, когда выстрелов было 13.  Возьмем самое маленькое число попаданий – 8. 8*13=104. Это число уже больше ста, значит, 13 выстрелов быть не может, т.к. с другими выстрелами это количество будет только расти.

Ответ: 9 по 8 очков, 2 по 9 очков, 1 по 10 очков.

                  Решение Романенко Александра:

Так как спортсмен стрелял более 11 раз, то он сделал 12 или более выстрелов, то тогда пусть он сделал 12 выстрелов в 10, то получается больше 100, то тогда пусть он попал в 9 десять раз ( так как, в итоге сумма должна заканчиваться двумя нулями) то получим 90+10=100, но это 11 выстрелов, а надо минимум 12, то пусть он 10 выстрелов попал в 8 и два раза в 10, то в итоге получим, что он набрал 100 и сделал 12 выстрелов, можно составить 100 , как 9+9+8+8+8+8+9+9+8+8+8+8 =100, и опять получается 12 выстрелов, но в обоих случаях мы не используем одно из чисел, в условие сказано , что он попал в три числа, то есть 8, 9, 10, значит данные варианты ошибочны, то надо составить выражение , в котором все числа употреблялись и в сумме давали 100, в таком выражение будет много 8, так как это наименьшее число из предоставленных, а надо сделать количество выстрелов

наибольшим, чтобы их количество было более 11, то есть вариант 8+8+8+8+8+8+8+8+8+9+9+10=100
подойдёт, и получится выстрелов 12
Ответ: всего выстрелов 12, попал девять раз в 8, два раза в 9, и один раз в 10.

8.Сколько слагаемых не более 100 надо взять в сумме 1+2+3 +…, чтобы сумма оказалась точным квадратом?

Решение Усковой Ольги: Можно попробовать просто записать часть суммы и посмотреть что будет выходить. Запишем сумму до 10.

1+2=3+3=6+4=10+5=15+6=21+7=28+8=36+9=45+10=55

При прибавлении 8 мы видим квадрат 6-ки – 36. Тогда достаточно записать 8 слагаемых.  Так же я заметила, что при прибавлении 11+12=23+13=36+14=50+15=65+16=81+17=98+18=116
Тут достаточно 6-ти слагаемых. Но по условию сказано, что цифры идут по порядку, тогда слагаемых 8.

Решение Юровой Полины: 1. Квадрат может получиться, если число взять столько же раз, какое у него значение. Посмотрим, возможно ли это в данном ряду. Сумму чисел до какого-то числа можно найти таким образом: Если число четное, то сложить его с самым первым и умножить на количество пар; Если нечетное, то сложить предыдущее с самым первым и умножить на количество пар+1.

Пусть есть число а. Тогда сумма чисел до а, включая его находится, как (а+1)*а:2 (т.к. в паре 2 числа) если а - четное или (а-1+1)*(а+1):2=а*(а+1):2 если а - нечетное. От перестановки множителей произведение не меняется, поэтому получаются 2 одинаковые формулы.

Понятно, что два множителя в формуле не могут быть одинаковыми, если это натуральные числа. Тогда рассмотрим случай, когда квадрат (ху)² получается из чисел вида х²*у². Найдем сумму чисел от 1 до 100 по формуле. (100+1)*100:2=101*50=5050. Квадратный корень из этого числа ≈ 71. Рассмотрим числа до 71 в составе которых есть больше двух различных делителей.

Возьмем число 6. Оно имеет делители 2 и 3. 2*2=4, 3*3=9. Проверим, можно ли подставить эти числа в качестве двух множителей. Это возможно, т.к. 9=8+1, а 4=8:2. Значит, нужно взять 8 слагаемых.

2.Решим задачу с помощью программы. Введем две переменные - сумму и число, которое прибавляется к сумме. Заметим, что само число - 1, 2, 3 и т.д. обозначает не только свой номер, но и то, каким по счету слагаемым оно является. Поэтому третья переменная не нужна. Обозначим сумму на s, а число за n. Введем начальные значения переменных. Каждый раз слагаемое становится больше предыдущего на 1. Сумма становится больше предыдущей на само число n. Запишем это в цикле.

Теперь добавим оператор, который будет проверять, является ли сумма точным квадратом. Для этого нужно, чтобы квадратный корень из числа был целым числом. Запишем это так, чтобы "Если квадратный корень числа равен целой части квадратного корня числа", то программа выводит переменную n - т.е. число, которое прибавилось к сумме, оно же одновременно количество чисел в сумме.

Объясню, почему. Квадратный корень из 8 ≈ 2, 82. Целая часть из этого числа равна 2. Эти результаты не равны, поэтому, точным квадратом число 8 не будет. Если же взять целую часть квадратного корня из 4 - 2, то число останется таким же.

Условие завершения цикла - когда n будет равно 100. Получаем такую программу:

Program Z8;

var

s, n: integer;

Begin

n:=0;

s:=n;

repeat

n:=n+1;

s:=s+n;

If sqrt (s) =  trunc (sqrt (s)  ) then writeln  (n)

Else;

Until n=100;

End.

Получаются числа 1, 8 и 49.

Ответ: 1, 8, 49.

9.Расшифровать равенство АРШИН+АРШИН+АРШИН=САЖЕНЬ

Многие просто подобрали не рассуждая нужные числа, за это был поставлен 1 балл. Необходимо было рассуждать.

Решение Усковой Ольги:    3∙АРШИН=САЖЕНЬ

Начнем рассматривать возможные варианты цифры Н. Н однозначно более, чем 3. Потому что при умножении на 3 мы не сможем добрать в ответе.

Это удобно рассматривать, записывая выражение столбиком.

Н=4

АРШ14∙3=САЖЕ42

Вполне возможно, что Н=4. Рассмотрим следующие варианты.

АРШИ5∙3=САЖЕН5

Н≠Ь, тогда Н≠5

Этот вариант нам не подходит.

АРШ56∙3=САЖЕ68

Чтобы в ответе получить Н=6, то надо дополнить число на 8 (до 26), что при умножении на 3 невозможно. Но можно сделать иначе. Раз единица переходит в следующий разряд, то там, на месте буквы И можно поставить 5.  Тогда надо будет рассмотреть и этот вариант.

АРШ57∙3=САЖЕ71

Тут можно букву И представить в виде 5.

АРШ28∙3=САЖЕ84

Тут у нас выходит число. Тогда, вполне, возможно, что Н=8.

АРШИ9∙3=САЖЕН7

Тут ничего не выходит.

Теперь, имея 4 варианта,  мы должны рассмотреть варианты буквы А.

А больше 3 т.к. при умножении на 3 мы должны получить шестизначное число.

Тогда А=5

5РШ14∙3=15ЖЕ42

Этот вариант нам подходит, чтобы число не «перепало» на 15 надо, чтобы Р<3.

Тогда Р=0 или 3

Ш≠0 т.к. Ш≠Е

Если Р=3, то Ш=0(1 и 2 уже используется)-не подходит.

Р=0, Ш=9;8;7;6;1

Но так тоже нельзя, ибо после умножения на 3 перепадет 1 или 2.

Тогда А≠5.

А≠6, т.к. если мы будем добирать, то нам надо добрать 4, а это невозможно.

По такой же причине А≠7

А=8

8РШ14∙3=16ЖЕ42

Этот вариант тоже не возможен. Т.к И≠С.

А=9

9РШ14∙3=29ЖЕ42

Тогда Р=7 или 8.

Но этот вариант тоже невозможен, ибо С≠Ь.

Выходит, что и при АРШ28 А≠9.

Посмотрим тогда, когда А=5,а ИН=28.

5РШ28∙3=15ЖЕ84

Так же как и выше Р не больше 3. Но если Р=3, то Ш=0 или 1. Если Ш=0=Е, так нельзя. Тогда Ш=1=С. Так тоже нельзя, выходит, что Р≠3.

Тогда Р=1, но так тоже нельзя, ибо Р≠С.

Если Р=0, а там при умножении Ш на 3 будет перепадать 1 или 2, но так нельзя. А если и Ш=3. То Р=0=Ж, так тоже нельзя.

А≠6; А≠7 (причину см.выше)

Так же А≠8 потому что А≠Н.

А=9

9РШ28∙3=27ЖЕ84
Такой вариант тоже невозможен. Т.к И≠С.

АРШ56∙3=САЖЕ68

Допустим, А=4. Тогда, чтобы СА=14, надо добавить 2. Это возможно при использовании 7 или 9.  Допустим, Р=7.

47Ш56∙3=141Е68

Нам надо подобрать Ш такое, чтобы Ж увеличилась на 1. Возьмем Ш=3.

47356∙3=142068

Подходящий вариант.

Рассмотрим А=7

7РШ56∙3=21ЖЕ68

Р должно быть таким числом, чтобы к 21 не прибавилась единица. Т.е. Р может быть равно 0, 1,2, 3, 9.

Допустим, Р=0. Если Р будет равно 0 то у нас либо выйдет что С=Р, либо Ж=р. Что по условию недопустимо.

Если Р=1. То Ж=3. Рассмотрим далее. Но Тогда Р=С, что нельзя.
Если Р=2. То выйдет так же, что и Р=1.
Если Р=3. То Ж=9. У нас остаются цифры 0,4,9. Если мы поставим 0, то Е=1, но Е≠А. Если 4 или 9, то там перейдет число.

Если Р=9.

То 79Ш56∙3=237Е68 Еще «в уме» у нас есть 1. Тогда очевидно, что Ш=0, следовательно Е=1.Но тут я забыла про букву А. Этот вариант нам так же не подходит.

АРШ57∙3=САЖЕ71

Начнем подбирать Букву А и Р. Возьмем их так же как и в случае выше. Только Р=8 (т.к 7 уже используется)

48Ш57∙3=144Е57

Этот вариант нам не подходит т.к по условию А≠Ж.

Выходит, что всего 1 вариант решения этой задачи.

Ответ: 47356+47356+47356=142068

Решение Романенко Александра: Так как к числу прибавляют его же, то будем записывать как АРШИН ·3=САЖЕНЬ Пусть первая цифра с конца слагаемого будет 6, то после сложения получим 18,тогда предпоследняя цифра слагаемого будет 5, так как оно умноженное на 3 и +1 должно дать 6, потому что некоторые цифры из слагаемых совпадают с суммой, то получаем    ххх56 ·3=хххх68, тогда пусть следующая цифра слагаемого будет 3, то получим хх356·3=ххх068, то теперь обратим внимание на первую цифру суммы, оно будет равняться 1 или 2, в зависимости какая цифра под буквой А, но обратим внимание , на то, что А, ещё повторяется и в слове САЖЕНЬ, то есть они совпадут, тогда А может быть равняться и 4, то тогда последующая цифра при умножение на 3 и +1 должна давать 2х, если А равняется 5, то предыдущая цифра должна равняться 0х( первое количество десятков, вторая количество единиц). Разберём случай, когда А ровняется 4, то получаем 4х356 ·3=14х068 , на месте х могут стоять цифры 2,7,9 разберём случай когда на месте х стоит в слагаемом 2, то в итоге получим 2·3+1, то есть 7 в сумме, но 7 , тогда размышления с 4 будут ошибочными, так как к 4 не прибавится 2, тогда разберём случай когда на месте х в слагаемом стоит 7, получим 7·3=22, тогда получим выражение 47356·3=142068
Ответ: 47356+47356+47356=142068

Решение Балаева Антона :АРШИН + АРШИН + АРШИН = САЖЕНЬ                                                                          Это же равенство можно записать как:              АРШИН ∙ 3 = САЖЕНЬ

  АРШИН

×             3

 САЖЕНЬ

Я нашел 4 возможных варианта, чему может рaвняться Н и И.

1)Н = 2, И = 4

   ***42

×        3

 ****26                                                                                                                                                                                  Если А = 5, то С = 1. Не использованными остались числа 0, 3, 7, 8, 9. И при этом умножение Р  на 3 остаток давать не должно. Что можно получить такой расстановкой:

   53042

×         3

 159026                         Этот вариант не подходит, так как Ш и Е обозначают одну и туже цифру.

2)Н = 6, И = 5

  ***56

×        3

 ****68

В этом варианте И = 5, поэтому А = 4, а С = 1. Но для того чтобы в ответе А тоже равнялось 4 должно быть 2 в уме. Чтобы было 2 в уме, Р должно равняться 7 или 9. Если Р будет равняться 9, то Ж и Ь будут равняться одной и той же цифре – цифре 8, что быть не может. Поэтому Р  это 7. При этом умножение 3 на Ш должно давать 1 в уме.

  47356

×        3

142068              Этот вариант подходит.

3)Н = 8, И = 2

  ***28

×        3

 ****84

В этом варианте А = 5. При этом С = 1. Умножение 3-ёх на Р не должно давать остаток. Т.е. Р может равняться на 0 или 3. Допустим  Р = 0, тогда Ш может равняться  9, 7 или 3. Но тогда будут повторяться цифры 2,1 и 0. При Р равном 3 тоже не получается.

  58*28

×        3

159*84                                        Этот вариант не подходит.

4)Н = 1, И = 7

  ***71

×        3

 ****13                                  А = 4 или 5. Допустим А = 4, С = 1. Этот вариант не возможен не при А равном 4, не при А равном 5, так как С будет равняться Н.

46271

×        3

140813                                                           Такой вариант не возможен.

Ответ: АРШИН + АРШИН + АРШИН = САЖЕНЬ

            47356 + 47356 + 47356 = 142068
Можно было бы рассмотреть другие варианты рассуждений, но форматы ваших работ не позволяют их копировать.

10. Может ли частное от деления числа 3¹⁰⁰⁰ +3¹³³³+3¹⁶⁶⁵ +3ⁿ на 3 быть точным кубом?

Решение Федорова Дениса:

(3¹⁰⁰⁰ +3¹³³³+3¹⁶⁶⁵ +3ⁿ )/3=х³ ;разделим каждое слагаемое на 3

3⁹⁹⁹ +3¹³³²+3¹⁶⁶⁴ +3^n-1 =х³

3⁹⁹⁹(1+3­­­³³³+3⁶⁶⁵+3^n-1000)=х³

Извлечём корень кубический:

Х=³√3⁹⁹⁹(1+3­­­³³³+3⁶⁶⁵+3^n-1000)

Х=3³³³∙³√1+3­­­³³³+3⁶⁶⁵+3^n-1000

1+3­­­³³³+3⁶⁶⁵+3^n-1000 мы можем разложить как куб суммы а и в:

1+3­­­³³³+3⁶⁶⁵+3^n-1000=(а+в)³=(1+3³³²)³=1+3∙3³³²+3∙3⁶⁶⁴+3⁹⁹⁶ ;  n-1000=996, n=1996

Х=3³³³∙(1+3³³²)

Ответ: может быть частное точным кубом.

Решение:

(3³³³)³ (1+3·3³³²+3·(3³³²)² +3^n-1000)

Множитель, стоящий в скобках, будет кубом суммы при  n-1000=332·3, т.е. при n=1996.

Не забываем о том, что в сентябре будет зачет по всем задачам!!!