Решения 5 тура олимпиады "Надежда ЛИСы"

Решения Бурмистрова Кирилла

№1

Допустим, что доску 10х10 можно замостить такими фигурками. Тогда таких фигурок всего будет 100/4=25 штук. Раскрасим доску в шахматном порядке белыми и черными клетками. Каждая из фигурок тогда будет покрывать либо 1, либо 3 белые клетки, но всегда нечетное число. В 25 фигурках, покрывших поле тогда будет тоже нечетное число белых клеток, т.к. произведение нечетных чисел – нечетно. Но всего белых клеток на доске – 100/2=50 штук – четное число. Получили противоречие. Значит нельзя замостить доску размером 10х10 фигурками такого вида.

Ответ: Нельзя.

№2

Пусть у девочки в какой-то паре будет Х орехов. Тогда у мальчика в этой паре может быть 2Х орехов или Х/5 орехов. А всего в паре тогда может быль либо Х+2Х=3Х орехов, либо Х+Х/5=6Х/5 орехов. Заметно, что общее число орехов в обоих случаях делится на 3. Тогда и общее число орехов во всех парах должно делиться на 3. Но 1000 не делится на 3. Значит, не могло такое случиться, что все дети собрали вместе 1000 орехов.

Ответ: не могло

№3

У нас есть амебы типа А(20шт),  В(21шт), С(22шт). Процесс слияния может быть таким:  А(20шт)+В(20шт)=С(20шт). После чего останется С(42шт) и В(1шт). В следующем слиянии будут участвовать только по одной амебе С и В. С(1шт)+В(1шт)=А(1шт) и останется С(41шт). В следующем слиянии будут участвовать по одной амебе С и А. С(1шт)+А(1шт)=В(1шт) и останется С(40шт). И так далее. Заметно, что, когда  получается амеба типа А, то остается нечетное число амеб типа С. Значит последней парой амеб будет пара из А и С, которая даст в итоге амебу типа В.

Ответ: Амеба типа В.

№4

Предположим, что такие 6 чисел существуют, и среди их НОД есть все числа от 1 до 15. Среди этих чисел от 1 до 15 –семь чисел четные (2,4,6,8,10,12,14). Предположим, что среди 6 предположительно существующих чисел есть не больше четырех четных чисел. Тогда четных НОД будет не больше 6. А если предположить, что среди 6 исходных чисел есть ка минимум 5 четных, то четных НОД будет не меньше 10. Получили противоречие. Значит, такое не могло произойти.

Ответ: Не могло.

№5

Т.к. все танцевали в парах, то количество партнерш, названных мальчиками, должно равняться количеству партнеров, названных всеми девочками. Всего было названо 3*5+5+6*9=74 человека. Причем, сумма партнеров девочек должна равняться сумме партнерш мальчиков. Т.е. сумма 8 чисел из набора должна равняться сумме других 7 чисел и равна 74/2=37. Сумма любых 7 или 8 чисел без 5 будет делиться на 3. А 37 на 3 не делится.  Достигнуто противоречие. Поэтому не стоит рассматривать набор, содержащий 5.

Ответ: Ошибся.

№6

Если бы в каждый день недели родилось не больше 3х учеников, то в классе бы тогда училось не больше 3*7=21 ученика. А т.к. их больше, то возможно, что четверо учеников родились в один день недели.  

№7

Выберем наибольшее число из всех стоящих по кругу.  Тогда среднее арифметическое соседних с ним чисел не больше выбранного числа. Но по условию, это среднее арифметическое равно выбранному числу. Такое возможно только когда соседние с выбранным числом числа равны ему. Аналогично можно рассмотреть каждое из оставшихся чисел и сделать вывод, что они все равны.

№8

На одном грузовике можно увезти больше 2х тонн, но меньше 3х тонн. На 4х машинах можно перевезти как минимум 8 тонн камней, но меньше 12 тонн. Но четырех машин может не хватить, если сначала было, например, 13 камней весом по 10/13. Тогда на 4х машинах можно увезти 12 таких камней, а для 13-го потребуется еще одна машина. Итого, потребуется 5 машин, которые гарантированно вывезут 10 тонн камней.

Ответ: на 5

№9

Независимо от того, как будут проходить бои, после каждого боя будет выбывать один боксер. Т.к. в итоге должен остаться один победитель, то всего должно быть проведено 49 боев.

Ответ: 49

№10

Найдем разность числа стаканов, стоящих вверх дном, и числа стаканов, стоящих на дне.

На дне	Вверх дном	Разность
0	25	-25
2	23	-21
4	21	-17
6	19	-13
8	17	-9
10	15	-5
12	13	-1
14	11	3
16	9	7
18	7	11
20	5	15
22	3	19
24	1	23

Можно увидеть, что каждая разность будет отличаться от предыдущей на 4. Предположим, что нам удалось поставить все стаканы правильно. Тогда разность между числом стаканов, стоящих вверх дном, и числом стаканов, стоящих правильно, равна -25. И мы видим, что число -25 отличается от 25 на 50— это число не кратно 4. Значит, следуя условию задачи, добиться того, что все 25 стаканов будут стоять на дне, невозможно.

 Решение олимпиады Фёдоровым Денисом

1.Докажите, что доску 10х10 нельзя замостить фигурками вида

Решение: если квадрат можно замостить (разрезать) на равные части, то его площадь должна нацело делиться на площадь фигуры, в данном случае на 4. Это требование выполняется для квадратов: 2х2,4х4,6х6,8х8,10х10. Квадрат 2х2 не подходит. Рассмотрим  разрезание квадрата 4х4 на части, равные данной фигуре:

Чтобы замостить квадрат большей площади должно быть 4 таких квадрата, общей площадью 8х8=64, т.е. площадь большего квадрата должна делится на 16, а 100 на 16 не делится, значит замостить доску 10х10 указанными фигурами нельзя.

2.Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали      орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?

Решение: пусть х –орехов у девочки, тогда у мальчика будет 2х или х/2 .

Тогда сумма орехов в одной паре 2х+х=3х, или х+(х/2)=1,5х

Эти суммы делятся на 3, а сумма любых чисел, делящихся на 3 должна делиться на 3, а 1000 на 3 не делится.

Ответ: не может быть у всех 1000 орехов.

3.В пробирке находятся марсианские амёбы  трёх типов: А,В и С. Две амёбы любых  двух типов могут слиться в одну амёбу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке осталась одна амёба. Каким может быть её тип, если исходно амёб типа А было 20 штук, типа В-21 штука, типа С-22 штуки?

Решение: пусть N (Х) – число амёб типа Х.

Мы видим, что 21В- нечетное число, а поскольку 20А и 22С-четно, то возможно слияние сразу 20А например с 20С.

При слиянии 20А+20С=20В, останется 20В+21В=41В и 2С (22С-20С=2С). В дальнейшем количество амеб В будет уменьшаться на 2, (41-2=39, 39-2=37, 37-2=35 и т.д. до 1)

Как мы видим четность амеб В не меняется. При уменьшении числа амеб В одновременно будет оставаться либо 2А либо 2С амебы. В конце останется 2А и 1В, при их слиянии получится 1А и  1С амебы, а при   слиянии этих амеб останется 1В амеба.

Амебы	А	В	С
	20	21	22
	0	41	2
	2	39	0
	0	37	2
	2	35 и т.д.	0
	2	1	0
	1	0	1
Останется		1

Ответ: останется 1 амеба В.

4.Имеется шесть натуральных чисел. Для каждой пары этих чисел выписали их наибольший общий  делитель. Могли ли при этом оказаться выписанными все натуральные числа от 1 до 15?

Решение: из натуральных чисел от 1 до 15  имеется 7  четных чисел и 8 нечетных чисел. Чтобы получить четный НОД, оба числа в паре должны быть четными. Для этого нужно иметь 7 пар четных чисел. Из 4 четных чисел мы можем получить только 6 пар четных чисел, например: из чисел 2,4,6,8 получатся пары 2и4,2и6, 4и6,2и8, 4и8, 6 и 8.

 А из 5 четных чисел получим 10 пар четных чисел, например: из  чисел 2,4,6,8,10 получатся 2и4,2и6, 4и6,2и8, 4и8, 6 и 8, 2и 10, 4 и 10, 6 и 10, 8 и 10.

Таким образом, 7 четных НОД мы никак не сможем получить.

Ответ: не могут оказаться  выписанными все натуральные числа от 1 до 15.

5. По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков и 8 девочек, каждый (каждая)  назвал (назвала) количество своих партнёрш (партнёров): 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6.     Не ошибся ли кто-нибудь из них?

Решение: число партнеров девочек должно равняться числу партнерш мальчиков.

Общая сумма всех названных чисел равна 74, при делении на 2 получим 37 пар. Из представленных чисел видно, что все числа делятся на 3 кроме 5, значит невозможно составить сумму 37. Число 37 при делении на 3 дает остаток 1. В данном случае число партнеров девочек  не равно числу партнерш мальчиков, это неправильно.

Ответ: ошибся тот, кто назвал число 5.

6.В классе учится 22 ученика. Докажите, что из них можно выбрать четырёх, которые родились в один день недели.

Решение: в неделе 7 дней, если бы в каждый день недели родилось по 3 мальчика, то в сумме было бы 21 ученик, а у нас их 22, т.е. на одного больше, значит, обязательно в один день недели учеников родится не 3, а 4 человека.

Ответ: найдется один день недели, в котором родилось 4 ученика.

7. По кругу записано  100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все 100 чисел равны.

Решение:  Пусть данные числа не равны. Надо выбрать  наибольшее число. Тогда  оно не может быть меньше своих соседей, и оно же равно их среднему арифметическому, значит, данные числа равны. Аналогично для всех чисел.

8.Несколько камней весят вместе 10 т, при этом каждый из них весит не более 1 т. На каком наименьшем количестве трёхтонок можно увезти этот груз за один раз?

Решение:

Если бы каждый камень весил по 1 т, то хватило бы четырех трехтонок для того, чтобы перевезти 10 тонн камней (т. к. всего было бы 10 камней). Если всего 11 камней, то каждый камень весит 10/11 тонны, в одной трехтонке можно перевезти 3 камня (30/11 меньше 3 т) и всего понадобиться также 4 трехтонки. Если всего 12 камней, то каждый весит 10/12, то на одной трехтонке можно увезти 30/12 т=2,5 тонны, тогда для того чтобы перевезти все 10 тонн необходимо 10:2,5=4 трехтонки. Если же всего 13 камней, то каждый весит 10/13 тонн и на одной можно увезти 30/13 тонн. Тогда чтобы увезти все 10 тонн необходимо 10: (30/13)=130/30=13/3>4х трехтонок – минимум 5.

Количество камней	Вес 1 камня	Вес камней в 1 трехтонке	Расчет количества  трехтонок
10	1 т	3 т	В 3 машинах повезут 9 т и в 1 машине - 1т. Всего 4 машины
11	10/11 т	3х10/11=30/11=2,7	10т/2,7=3,7 нужно 4 машины
12	10/12	3х10/12=30/12=2,5	10т/2,5=4 машины
13	10/13	3х10/13=30/13=2,3	10/2,3>4-машин  – минимум 5.

Ответ: поскольку мы не знаем, сколько у нас камней, то потребуется минимум 5 машин.

9.В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвуют 50 боксеров. Какое наименьшее количество боёв надо провести, чтобы выявить победителя?

Решение: 50 боксеров сыграют друг с другом 25 боев, будет 25 победителей. Из них 24 боксера сыграют 12 боев, останется 12 победителей и 1 победитель  от прошлого боя.

12 боксеров сыграют 6 боев, затем 6 боксеров сыграют 3 боя, будет  3 победителя.

3+1=4- всего будет 4 победителя. Затем эти 4 победителя - боксера сыграют 2 боя и оставшиеся 2 победителя сыграют 1 бой между собой. Итого 25+12+6+3+2+1=49 боев.

Ответ:49 боев.

10.На столе стоят вверх дном 25 стаканов. За один ход Вася может перевернуть любые два стакана. Сможет ли Вася за несколько ходов поставить все стаканы правильно?

Решение:

Вначале число стаканов, стоящих неправильно - 25 – нечетное число. Нечетное число – это 2n + 1 (стаканов). Если Вася выберет 2 стакана, стоящих правильно, и перевернет их, то неправильно стоящих стаканов станет 2n + 1+2=2n+3 – нечетное число.

Если Вася выберет 2 стакана, стоящих неправильно, и перевернет их, то неправильно стоящих стаканов станет 2n +1-2=2n-1 – нечетное число.

Если Вася выберет 2 стакана, один из которых стоит правильно, а другой – неправильно, и перевернет их, то число неправильно стоящих стаканов останется 2n + 1 – нечетное число.

Получили, что число стаканов, стоящих неправильно (вверх дном) – нечетное.

Если бы Вася смог поставить все стаканы правильно, то неправильно стоящих стаканов стало бы – 0, а это четное число.

Так как на столе всегда стоит нечетное число стаканов, стоящих неправильно, то Вася не сможет за несколько ходов поставить все стаканы правильно.

Ответ: не сможет.

 Решения 5 тура  олимпиады  Юровой Полиной

№1.

Представим доску 10*10 в виде шахматной доски. В ней поровну черных и белых клеток, каждых по 50. Эта фигура будет либо черной с одной белой клеткой и тремя чёрными, либо наоборот.

Поскольку в доске поровну черных и белых клеток, таких фигур тоже должно быть поровну. Но раз в каждой из них 4 клетки, таких фигурок должно быть 25, а 25 не делится на 2, следовательно, фигур получится 12+12 и останется незаполненными 2 белых и 2 чёрных клетки.

А любой из фигурок не получится заполнить оставшиеся 2 белых и 2 чёрных клетки.
Следовательно, доску 10*10 нельзя заполнить фигурками такого вида.

№2.

У одного ребенка из каждой пары орехов будет вдвое больше чем у другого. Разделим детей на две группы. В одной группе будут те, у кого орехов было в 2 раза меньше, а в другой те, у которых орехов было в 2 раза больше.

1 группа – х.

2 группа – 2х.

Х+2х=1000

3х=1000

Х=1000:3

1000 не делится на 3, значит 1000 орехов у всех быть не может.

№3.

Рассмотрим 3 варианта слияния амеб.

1 вариант:

20А+20В=20С

22+20=42С - стало. Затем слияния продолжаются:

42С и 1В
41С и 1А

40С и 1В

Заметно, что с нечетным количеством С будет А, а с четным - В.
...

2С и 1В

1С и 1А=

В- остаётся.

2 вариант:

21В+21С=21А

20+21=41А - стало. Затем слияния продолжаются:

41А и 1С

40А и 1В

39А и 1С

С нечетным количеством А будет С, а с четным - В.

...

2А и 1В

2А и 1С

В- остаётся.

3 вариант:

20А+20С=20В

20+21=41В - стало.

Осталось 41В и 2С. Будем использовать только 1 С.

41В и 1С

40В и 1А

39В и 1С

С нечетным количеством В будет С, с четным - А.

...

1В и С

1А

У нас оставалась 1С, используем её.

1А+1С=В- остаётся.

В каждом случае получается В.

Ответ: В.

№4.

1 число из пары выбираем 6 способами, 2 число - 5 способами.

6*5=30 - чисел в парах. Но 1 пара - это 2 числа.

30:2=15 - пар.

Значит, чтобы могли быть выписаны натуральные числа от 1 до 15, нужно, чтобы каждое число повторялось только 1 раз.

НОД - 1 можно получить, если:

1) Одно из шести чисел будет 1.
2) Одно из шести чисел будет простое, а одно оставшееся не будет делиться на него.

Если одно из шести чисел будет 1, то его нужно будет перемножить со всеми пятью оставшимися числами. Тогда получится из 15 чисел 5 единиц, и на остальные 14 чисел места не хватит.

Если одно из чисел простое, то его тоже нужно будет перемножить со всеми оставшимися 5 числами. Если все остальные числа не будут делиться на него, то получится 5 единиц. Если остальные числа будут делиться на это простое число, то НОД везде будет это простое число.

Значит, каждое из чисел от 1 до 15 не может быть выписано.

№5.

Всего, по ответам, в сумме получается 74 партнера. В каждой паре 2 человека - мальчик и девочка.

74:2=37 - партнеров- мальчиков или девочек.

Из 15 чисел 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6 - семь ответов принадлежат мальчикам, а 8 девочкам. Но число 37 нельзя получить с помощью семи или восьми из этих чисел. Значит, кто-то ошибся.

№6.

В неделе 7 дней. Если допустить, что все дети родились в максимально разные дни недели, то

22:7=3 (1 ост) –получается, что в каждый день родились 3 человека. Останется один. Этот человек и есть четвертый к какому-то дню.

Если в какой-то из дней недели родилось меньше трех человек или вообще никто не родился, то это не страшно, потому что они добавятся в какой-то другой день недели, где уже есть трое - четвёртыми, пятыми и т.д.

Ответ: из 22 всегда можно выбрать четырех учеников, родившихся в один день недели.

№7.

Если среднее арифметическое двух чисел - то число, которое стоит посередине, то числа могут быть одинаковыми или разными.

Рассмотрим тот вариант, когда числа разные. В сумме крайние должны давать число вдвое большее, чем стоящее посередине. Если это разные числа, то, которое меньше, должно быть меньше среднего числа на столько, на сколько другое больше его.

Пусть среднее число будет х, правое х+1, а левое х-1.  |х-1|х|х+1|

((х+1)+(х-1)):2=(х+1+х-1):2=(х+х):2=х2:2=х

Следовательно, число х посередине является средним арифметическим двух других чисел.

Тогда после х+1 должно идти х+2, а в другую сторону после х-1 - х-2, и т.д.. 

...|х-3|х-2|х-1|х|х+1|х+2|х+3|...

Линию придётся замкнуть в круг, и тогда числа с разных сторон встретятся. Число, лежащее правее от х+1 будет самым большим, а лежащее левее х-1 - самым маленьким.

Число после х-1 будет меньше того, которое нужно для среднего арифметического с числом после х+1и наоборот, поэтому среднего арифметического не получится.

Значит, числа могут быть только одинаковыми.

№8.

Раз нам требуется наименьшее количество машин, потребуются наиболее крупные камни. Допустим, самое большое число после 1 т - 999 кг, тогда получается 10 камней тяжёлых, по 999 кг и 1 камень лёгкий, 10 кг. Всего минимально будет 11 камней.

11:3=3 (2 остаток)

На 3 трехтонках повезут по 3 камня, и на одной - 2 камня.

Ответ: минимально понадобится 4 машины.

№9.

1 круг) 50:2=25 - осталось в турнире.

2 круг) 25:2=12-победители +1 ост - 13 осталось в турнире.

3 круг) 13:2=6-победители +1 ост - 7 осталось в турнире.

4 круг) 7:2=3-победители +1 ост - 4 осталось в турнире.

5 круг) 4:2=2 - осталось в турнире.

6 круг) 2:2=1 - победитель.

 В каждом бою есть 1 победитель и 1 проигравший. Т.к. требуется назвать наименьшее количество боёв, не будем учитывать возможность последнего нечётного в каждом круге боксировать с кем-то из круга; он без боя переходит в следующий. Значит, бои можно считать по победителям, то есть по оставшимся участникам, кроме тех одних, которым не хватило пары, потому что они не участвовали в боях.

25+12+6+3+2+1=49 (боев) - нужно провести, чтобы выявить победителя.

Ответ: 49.

№10.

 Стаканов нечетное число. Будем переворачивать по 2 стакана. Мы можем поставить правильно 24 стакана, но останется 1. Теперь нужно каким-то образом поставить правильно 1 стакан, совершив 2 движения. Но если одним движением мы ставим правильно 1 стакан, то вторым движением переворачиваем еще один стакан обратно, т.е. неправильно - поэтому  ничего не изменится, всё равно 1 стакан останется не перевёрнутым. Значит, это невозможно.